Dubbio su polinomi valutati in una matrice

[Shocker1]

Ciao


Devo dimostrare questa proposizione:

Siano: $V$ un $\mathbb{K}-$spazio vettoriale, $B$ base di $V$, $f \in End(V)$, $A = M_B(f)$(matrice associata a $f$ rispetto a $B$) e $p(t) \in \mathbb{K}[t]$. Allora $p(A) = M_B(p(f))$

Ho provato così:

Supponiamo che $dim V = n$, $p(t) = t^na_n + ... + ta_1 + a_0 \in \mathbb{K[t]}$, $B = {v_1, ..., v_n}$ e sia $[ ]_B$ l'isomorfismo fra $V$ e $\mathbb{K^n}$ che associa ad ogni vettore di $v$ le sue coordinate rispetto a $B$.
Calcoliamo $M_B(p(f))$:
Prima colonna: $[p(f)(v_1)]_B = [(f^na_n + ... + fa_1 + ida_0)(v_1)]_B = a_n[f^n(v_1)]_B + ... + a_1[f(v_1)]_B + a_0[v_1]_B$, analizziamo gli addendi:

[*:25xu2plr]$a_0[v_1]_B = a_0*((1), (\vdots), (0))$[/*:25xu2plr][*:25xu2plr]$[f(v_1)]_B = A*[v_1]_B = A^1$(prima colonna di $A$); [/*:m:25xu2plr][*:25xu2plr] $[f^2(v_1)]_B = [f(f(v_1))]_B = A*[f(v_1)]_B = (A^2)^1$(prima colonna di $A^2$);[/*:25xu2plr] [*:25xu2plr] ... ;[/*:25xu2plr] [*:25xu2plr] ... ;[/*:25xu2plr] [*:25xu2plr] $[f^n(v_1)]_B = A*[f^{n-1}(v_1)]_B = A*(A^{n-1})^1 = (A^n)^1$.[/*:25xu2plr][/list:u:25xu2plr]
quindi la prima colonna di $M_B(p(f))$ è $a_0*I^1 + ... + a_n(A^n)^1 = \sum_{i = 0}^n a_i (A^i)^1$, assumendo che $A^0 = I$.
Iterando il ragionamento per le restanti colonne otteniamo la matrice:

$M_B(p(f)) = ( \sum_{i = 0}^n a_i (A^i)^1 | \sum_{k = 0}^n a_i (A^i)^2 | ... |\sum_{i = 0}^n a_i (A^i)^n) = \sum_{i = 0}^n a_i(A^i) = p(A)$

Va bene come dimostrazione?
Grazie

[Shocker1]

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