Dubbio su Piano Tangente
Equazione del piano tangente alla seguente superficie per il punto indicato:
$xy+yz+zx-3=0$ punto: $(1,1,1)$
allora, io non capisco una cosa:
se applico il teorema della funzione implicita in prossimità di $(1,1,1)$ ottengo come piano tangente: $x+y+z=3$ e questo dovrebbe essere giusto.
Quello che non capisco, è: se volessi trovare questo piano senza applicare e senza fare le considerazioni della funzione implicita ecc.. se io facessi:
$F(x,y,z)=xy+yz+zx-3$
piano tangente: $z=F(1,1,1)+(del F)/(del x)(1,1,1) (x-1)+(del F)/(del y)(1,1,1) (y-1)$ dovrei ottenere (secondo me) lo stesso piano tangente e invece ottengo tutt'altro ovvero $z+4-2(x+y)=0$ come mai? perchè non esce la stessa cosa?
Vi ringrazione infinitamente
$xy+yz+zx-3=0$ punto: $(1,1,1)$
allora, io non capisco una cosa:
se applico il teorema della funzione implicita in prossimità di $(1,1,1)$ ottengo come piano tangente: $x+y+z=3$ e questo dovrebbe essere giusto.
Quello che non capisco, è: se volessi trovare questo piano senza applicare e senza fare le considerazioni della funzione implicita ecc.. se io facessi:
$F(x,y,z)=xy+yz+zx-3$
piano tangente: $z=F(1,1,1)+(del F)/(del x)(1,1,1) (x-1)+(del F)/(del y)(1,1,1) (y-1)$ dovrei ottenere (secondo me) lo stesso piano tangente e invece ottengo tutt'altro ovvero $z+4-2(x+y)=0$ come mai? perchè non esce la stessa cosa?
Vi ringrazione infinitamente
Risposte
"zannas":
Equazione del piano tangente alla seguente superficie per il punto indicato:
$xy+yz+zx-3=0$ punto: $(1,1,1)$
allora, io non capisco una cosa:
se applico il teorema della funzione implicita in prossimità di $(1,1,1)$ ottengo come piano tangente: $x+y+z=3$ e questo dovrebbe essere giusto.
Quello che non capisco, è: se volessi trovare questo piano senza applicare e senza fare le considerazioni della funzione implicita ecc.. se io facessi:
$F(x,y,z)=xy+yz+zx-3$
piano tangente: $z=F(1,1,1)+(del F)/(del x)(1,1,1) (x-1)+(del F)/(del y)(1,1,1) (y-1)$ dovrei ottenere (secondo me) lo stesso piano tangente e invece ottengo tutt'altro ovvero $z+4-2(x+y)=0$ come mai? perchè non esce la stessa cosa?
Vi ringrazione infinitamente
Bè, hai confuso un po' le cose!
"zannas":
Equazione del piano tangente alla seguente superficie per il punto indicato:
$xy+yz+zx-3=0$ punto: $(1,1,1)$
allora, io non capisco una cosa:
se applico il teorema della funzione implicita in prossimità di $(1,1,1)$ ottengo come piano tangente: $x+y+z=3$ e questo dovrebbe essere giusto.
Se non vuoi procedere con il teorema delle funzioni implicite puoi ricavarti la $z$ dall'equazione
e considerare la funzione $z = (3-xy)/(x+y)$
"franced":
Se non vuoi procedere con il teorema delle funzioni implicite puoi ricavarti la $z$ dall'equazione
e considerare la funzione $z = (3-xy)/(x+y)$
Trovi:
$(\partial z) / (\partial x) = -y/(x+y) - (3-x*y)/(x+y)^2$
$(\partial z) / (\partial y) = -x/(x+y) - (3-x*y)/(x+y)^2$
Se metti $x=1$ e $y=1$ nelle due formule trovi che:
$(\partial z) / (\partial x) = (\partial z) / (\partial y) = -1$
quindi il piano tangente ha equazione cartesiana:
$z = 1 + (\partial z) / (\partial x) \cdot (x-1) + (\partial z) / (\partial y) \cdot (y-1)$
cioè
$z = 1 - (x-1) - (y-1)$
$z = 3 - x - y$
che coincide con quello che hai trovato te sfruttando il teorema delle funzioni implicite.
Si, hai confuso un po' le cose....la formula che utilizzi tu è errata perchè ti comporti come se fosse una funzione esplicita, per iniziare, associ $F(1,1,1)=z0$, ma in realtà non è così....per farti capire meglio:
una retta ha equazione $y-y0=k(x-x0)$ stessa cosa la si avrà con il piano,
ossia: $z-z0=k(x-x0)+h(y-y0)$ cioè $z=z0+k(x-x0)+h(y-y0)$ nel tuo caso quindi hai associato ad $F(1,1,1)$ il valore di $z0$, ma come puoi facilmente capire $F(1,1,1)$ non può corrispondere a $z0$ in quanto è una funzione implicita.
Oltre a questo anche le dervite parziali non sono corrette, perchè come fai tu non puoi trovare $z$ inquanto $F$ non è uguale a $z$....sempre per farti capire meglio:
se hai una funzione $z=f(x,y)$ il piano tg sarà: $z-z0= f'x(x0,y0)(x-x0)+f'y(x0,y0)(y-y0)$, dove $f'x$ corrisponde a $dz/dx$ e $f'y$ a $dz/dy$, questo perchè l'equazione della superficie è espressa come $z=f(x,y)$.....nel tuo caso invece $F$ non è uguale a $z$, perchè non è stata esplicitata e quindi scrivere $dF/dx$ non corrisponde a $dz/dx$, così come $dF/dy$ non corrisponde a $dz/dy$.....quindi facendo così non calcoli il coefficiente angolare che indica il variare di $z$ al variare di $x$ o $y$, ma quello che indica il variare di $F$ al variare di $x$ o $y$.
Questo dovrebbe farti capire che quello che intendi calcolare tu è lontano da quello che in realtà è
una retta ha equazione $y-y0=k(x-x0)$ stessa cosa la si avrà con il piano,
ossia: $z-z0=k(x-x0)+h(y-y0)$ cioè $z=z0+k(x-x0)+h(y-y0)$ nel tuo caso quindi hai associato ad $F(1,1,1)$ il valore di $z0$, ma come puoi facilmente capire $F(1,1,1)$ non può corrispondere a $z0$ in quanto è una funzione implicita.
Oltre a questo anche le dervite parziali non sono corrette, perchè come fai tu non puoi trovare $z$ inquanto $F$ non è uguale a $z$....sempre per farti capire meglio:
se hai una funzione $z=f(x,y)$ il piano tg sarà: $z-z0= f'x(x0,y0)(x-x0)+f'y(x0,y0)(y-y0)$, dove $f'x$ corrisponde a $dz/dx$ e $f'y$ a $dz/dy$, questo perchè l'equazione della superficie è espressa come $z=f(x,y)$.....nel tuo caso invece $F$ non è uguale a $z$, perchè non è stata esplicitata e quindi scrivere $dF/dx$ non corrisponde a $dz/dx$, così come $dF/dy$ non corrisponde a $dz/dy$.....quindi facendo così non calcoli il coefficiente angolare che indica il variare di $z$ al variare di $x$ o $y$, ma quello che indica il variare di $F$ al variare di $x$ o $y$.
Questo dovrebbe farti capire che quello che intendi calcolare tu è lontano da quello che in realtà è
Grazie, ora ho capito, praticamente quello che facevo io era corretto $<=>$ la funzione è esplicitata.
Grazie
Grazie
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