Dubbio su piano passante per punto e retta

[Ales121]

Salve a tutti....ho un piccolo dubbio su un esercizio di geometria.

Dati P $(1, sqrt(2), 0)$ e la retta r:$\{(x+2sqrt(2)z=0), (y-2z=13):}$
determinare il piano $\pi$ passante per P ed r.

Io mi sono trovato i parametri direttori della retta r che sono rispettivamente l=$-2sqrt(2) m=2 n=1

poi ho fatto $(x-x1)/l=(y-y1)/m=(z-z1)/n$ dove x1,y1,z1 sono le coordinate di P
ottengo $(x-1)/-2sqrt(2)=(y-sqrt(2))/2=z/1$ facendo il prodotto incrociato ottengo $\{(2(x-1)=(-2sqrt(2))*(y-sqrt(2))), (y-sqrt(2)=2z):}$ sviluppando le operazioni ottengo $\{(2x+2sqrt(2)y-6=0), (y-2z-sqrt(2)=0):}$ prendo $\lambda*(2x+2sqrt(2)y-6)+mu*(y-2z-sqrt(2)=0)$ sostituisco le coordinate del punto P ma risulta $\lambda$0+$\mu$0

Qualcuno sa dirmi dove sbaglio....grazie

[orazioster]

hai già come semplicemente ottenere l'equazione di un generico piano che contenga la retta data: imponi
poi il passaggio per P.

[franced]

"Ales121":
Dati P $(1, sqrt(2), 0)$ e la retta r:$\{(x+2sqrt(2)z=0), (y-2z=13):}$
determinare il piano $\pi$ passante per P ed r.

Scrivi l'equazione del fascio di piani contenenti la retta $r$ e successivamente
imponi il passaggio per il punto $P$.

[piero_1]

@ales121
la tua retta è già definita come intersezioni di due piani, il fascio è immediato...

[Ales121]

Vi ringrazio per le risposte ma io vorrei capire perchè la soluzione che mi da il libro è $\pi:(13-sqrt(2))x+y+(26sqrt(2)-6)z-13=0

Grazie

[Camillo]

L'equazione del fascio di piani che ha come sostegno la retta è : $ alpha(x+2sqrt(2)z)+ beta( y-2x-13)=0 $ .
Imponendo ora che il generico piano del fascio passi per $P( 1, sqrt(2), 0 ) $ , sostituendo quindi queste coordinate al posto di $ x,y,z $ ottieni : $alpha = (13-2sqrt(2) ) beta$.
Assegnando a $ beta $ un valore comodo ( ma certamente non $0 $ ) ad es. $ beta = 1 $ otterrai che $ alpha = 13-2sqrt(2) $ . Sostituendo questi valori di $ alpha , beta $ nell'equazione del fascio ottieni il risultato.

[Ales121]

Ok ora ho capito!!!! grazie mille.....