Dubbio su parte di 2 esercizi
Ciao a tutti oggi preparandomi per l'esame di geometria ho trovato delle difficoltà a risolvere questi due esercizi:
1) Si consideri l'applicazione lineare f di $RR^3$ in M(2,$RR$) definita da f(a.b.c)=$((a+b,b-c),(a+c,a+2b-c))$
a)Trovare una base di Kerf, una base di Imf e le loro dimensioni.
b)Scrivere la matrice che rappresenta f rispetto alle basi canoniche di $RR^3$ e di M(2,$RR$).
Il primo punto sono riuscito a farlo (credo) e mi viene dimKer(f)=1 e dimIm(f)=3 con le basi rispettivamente $((0,-1),(1,0))$ e {$((1,0),(0,0))$,$((0,1),(1,0))$,$((0,0),(0,1))$}
Il secondo punto invece non ho idea di come fare](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
2) Si consideri per ogni k $in$ $RR$ la matrice $A_k$=$((3,0,0),(3,k+3,0),(-3k,3-4k,3k))$
a)Determinare per quali valori di k $A_k$ non è diagonalizzabile.
b)Per k=1 trovare una base di $RR^3$ formata da vettori di $A_k$
Anche qui credo di essere riuscito a fare i primo punto. Ho trovato gli autovalori e mi vangono 3,k+3,3k. Ho diviso il problema in 3 casi: k=0, k=1 e K≠1,0 e mi viene che la matrice è diagonalizzabile solo per k≠1,0
Il secondo punto ho provato a risolverlo con la formula $A*\vec c=\lambda*\vec c$ ma poi gli autovettori che mi vengono sono (-1,3,0) (-1,3,0) (0,1,1)
1) Si consideri l'applicazione lineare f di $RR^3$ in M(2,$RR$) definita da f(a.b.c)=$((a+b,b-c),(a+c,a+2b-c))$
a)Trovare una base di Kerf, una base di Imf e le loro dimensioni.
b)Scrivere la matrice che rappresenta f rispetto alle basi canoniche di $RR^3$ e di M(2,$RR$).
Il primo punto sono riuscito a farlo (credo) e mi viene dimKer(f)=1 e dimIm(f)=3 con le basi rispettivamente $((0,-1),(1,0))$ e {$((1,0),(0,0))$,$((0,1),(1,0))$,$((0,0),(0,1))$}
Il secondo punto invece non ho idea di come fare
2) Si consideri per ogni k $in$ $RR$ la matrice $A_k$=$((3,0,0),(3,k+3,0),(-3k,3-4k,3k))$
a)Determinare per quali valori di k $A_k$ non è diagonalizzabile.
b)Per k=1 trovare una base di $RR^3$ formata da vettori di $A_k$
Anche qui credo di essere riuscito a fare i primo punto. Ho trovato gli autovalori e mi vangono 3,k+3,3k. Ho diviso il problema in 3 casi: k=0, k=1 e K≠1,0 e mi viene che la matrice è diagonalizzabile solo per k≠1,0
Il secondo punto ho provato a risolverlo con la formula $A*\vec c=\lambda*\vec c$ ma poi gli autovettori che mi vengono sono (-1,3,0) (-1,3,0) (0,1,1)
Risposte
Ciao valemancio 
Nel $ kerf $ ci stanno quei vettori di $ mathbb(R^3) $(quindi non è possibile che una base del $ ker $ sia una matrice) tali che $ ((a+b,b-c),(a+c,a+2b-c))=((0,0),(0,0)) $ ossia per $ { ( a=-b=-c),( b=c ),( a=-c ),( c=parametro ):} $ quindi per esempio il vettore $ (-1,1,1) $. La dimensione quindi è 1. Ora dalla relazione $ dimmathbb(R^3)=3=dimkerf+dimimmf=1+dimimmf $ hai che $ dimimmf=2 $. Una base la trovi scomponendo la matrice$ ((a+b,b-c),(a+c,a+2b-c))=a((1,0),(1,1))+b((1,1),(0,2))+c((0,-1),(1,-1)) $ e prendendo le prime due matrici che sono linearmente indipendenti.
"valemancio":
a)Trovare una base di Kerf, una base di Imf e le loro dimensioni.
Nel $ kerf $ ci stanno quei vettori di $ mathbb(R^3) $(quindi non è possibile che una base del $ ker $ sia una matrice) tali che $ ((a+b,b-c),(a+c,a+2b-c))=((0,0),(0,0)) $ ossia per $ { ( a=-b=-c),( b=c ),( a=-c ),( c=parametro ):} $ quindi per esempio il vettore $ (-1,1,1) $. La dimensione quindi è 1. Ora dalla relazione $ dimmathbb(R^3)=3=dimkerf+dimimmf=1+dimimmf $ hai che $ dimimmf=2 $. Una base la trovi scomponendo la matrice$ ((a+b,b-c),(a+c,a+2b-c))=a((1,0),(1,1))+b((1,1),(0,2))+c((0,-1),(1,-1)) $ e prendendo le prime due matrici che sono linearmente indipendenti.
"valemancio":
b)Scrivere la matrice che rappresenta f rispetto alle basi canoniche di R3 e di M(2,R).
Devi applicare la definizione di matrice associata ad una applicazione rispetto a due basi. Calcoli i trasformati dei vettori della base canonica di $ mathbb(R^4) $ e poi calcoli le coordinate nella base canonica di arrivo(matrici 2x2 che hanno 1 alla i-esima posizione e 0 altrove).
Esempio: $ f(1,0,0)=((1,0),(1,1))rArr $le coordinate sono $ (1,0,1,1) $ che è la prima colonna della matrice.
La matrice finale è $ ((1,1,0),(0,1,-1),(1,0,1),(1,2,-1)) $
Ok grazie mille peter pan!!
Ciao
ho provato a risolvere il secondo punto. Per quanto riguarda il calcolo degli autovalori il procedimento è corretto. Per determinare i valori di $ k $ per cui la matrice non è diagonalizzabile ho fatto in modo di trovare quei valori per cui, dato l'autovalore 3, la molteplicità algebrica fosse diversa da quella geometrica. Per $ k=1 $ questo succede. Ora però mi sorge un dubbio riguardo al secondo punto. Se per $ k=1 $ la matrice non è diagonalizzabile, significa che non posso far si che $ mathbb(R^3) $ abbia come base una base di autovettori di $ A_k $. Nel testo non è che c'è scritto per $ k!=1 $?
ho provato a risolvere il secondo punto. Per quanto riguarda il calcolo degli autovalori il procedimento è corretto. Per determinare i valori di $ k $ per cui la matrice non è diagonalizzabile ho fatto in modo di trovare quei valori per cui, dato l'autovalore 3, la molteplicità algebrica fosse diversa da quella geometrica. Per $ k=1 $ questo succede. Ora però mi sorge un dubbio riguardo al secondo punto. Se per $ k=1 $ la matrice non è diagonalizzabile, significa che non posso far si che $ mathbb(R^3) $ abbia come base una base di autovettori di $ A_k $. Nel testo non è che c'è scritto per $ k!=1 $?
Scusa per il ritardo nella risposta. Comunque c'è scritto trovare una base per $k=1$
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