Dubbio su parametri direttori
date le rette
$s:x+y+z=0$
$ r:2x-2-y=3x-3+z=0$
determinare la retta ortogonale a r ed s e incidente ad entrambe.
ho visto che le due rette sono sghembre.
i parametri direttori di r sono$vr=(1,2,-3)$ di s quali sono?$vs=(1,1,1)$?????
facendo il prodotto vettoriale tra vr e vs ottengo un vettore v ortogonale ad entrambi.
la retta t richiesta è l'intersezione tra il piano contenente r e parallelo a v e il piano contenete s e parallelo a v.
è corretto?
$s:x+y+z=0$
$ r:2x-2-y=3x-3+z=0$
determinare la retta ortogonale a r ed s e incidente ad entrambe.
ho visto che le due rette sono sghembre.
i parametri direttori di r sono$vr=(1,2,-3)$ di s quali sono?$vs=(1,1,1)$?????
facendo il prodotto vettoriale tra vr e vs ottengo un vettore v ortogonale ad entrambi.
la retta t richiesta è l'intersezione tra il piano contenente r e parallelo a v e il piano contenete s e parallelo a v.
è corretto?
Risposte
Ma $s$ è un piano, non una retta.
e lo so ma nel testo c'e' scritto cosi... come devo fare
Come dice Ciampax la retta s non puo' essere indicata con quella equazione. Facciamo così: io ti indico un paio di metodi per risolvere il quesito ma al contempo modifico le equazioni di s al seguente modo:
\(\displaystyle \begin{cases}x+y=0\\z=0 \end{cases}\)
Così almeno saprai come procedere:ovviamente devi adattare i calcoli alla traccia vera.
Primo metodo
La retta richiesta è la retta di minima distanza tra r ed s.
Sia allora \(\displaystyle P(u,-u,0) \) il generico punto di s e \(Q(v,2v-2,3-3v) \) quello di r. La distanza d tra P e Q è:
\(\displaystyle d^2=(v-u)^2+(u+2v-2)^2+(3-3v)^2\)
Annullando le derivate parziali rispetto ad u e a v ,hai il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}-2(v-u)+2(u+2v-2)=0\\2(v-u)+4(u+2v-2)-6(3-3v)=0\end{cases} \)
Ovvero :
\(\displaystyle \begin{cases}2u+v=2=0\\u+14v=13\end{cases} \)
E da qui la soluzione :
\(\displaystyle u=\frac{5}{9},v=\frac{8}{9} \) che porta ai punti \(\displaystyle P(\frac{5}{9},-\frac{5}{9},0),Q(\frac{8}{9},-\frac{2}{9},\frac{3}{9}) \)
Le equazioni della retta PQ ( che è la retta richiesta ) sono allora:
\(\displaystyle x-\frac{5}{9}=y+\frac{5}{9}=z \)
Secondo metodo ( senza l'uso di derivate )
Il vettore direzionale delle retta s ( come da me modificata ) è \(\displaystyle (1,-1,0) \)
Il vettore direzionale delle retta r ( come da te calcolato ) è \(\displaystyle (1,2,-3) \)
Il vettore direzionale della retta PQ ( dove P e Q sono i punti prima trovati ) è \(\displaystyle Q-P=(v-u,u+2v-2,3-3v) \)
Imponendo la condizione di ortogonalità della retta PQ con s e con r,si ha il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}1\cdot(v-u)-1\cdot(u+2v-2)=0\\1\cdot(v-u)+2\cdot(u+2v-2)-3\cdot(3-3v)=0\end{cases} \)
Ovvero :
\(\displaystyle \begin{cases}2u+v=2\\u+14v=13\end{cases} \)
che è il medesimo sistema trovato prima e che quindi porta alla stessa soluzione.
\(\displaystyle \begin{cases}x+y=0\\z=0 \end{cases}\)
Così almeno saprai come procedere:ovviamente devi adattare i calcoli alla traccia vera.
Primo metodo
La retta richiesta è la retta di minima distanza tra r ed s.
Sia allora \(\displaystyle P(u,-u,0) \) il generico punto di s e \(Q(v,2v-2,3-3v) \) quello di r. La distanza d tra P e Q è:
\(\displaystyle d^2=(v-u)^2+(u+2v-2)^2+(3-3v)^2\)
Annullando le derivate parziali rispetto ad u e a v ,hai il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}-2(v-u)+2(u+2v-2)=0\\2(v-u)+4(u+2v-2)-6(3-3v)=0\end{cases} \)
Ovvero :
\(\displaystyle \begin{cases}2u+v=2=0\\u+14v=13\end{cases} \)
E da qui la soluzione :
\(\displaystyle u=\frac{5}{9},v=\frac{8}{9} \) che porta ai punti \(\displaystyle P(\frac{5}{9},-\frac{5}{9},0),Q(\frac{8}{9},-\frac{2}{9},\frac{3}{9}) \)
Le equazioni della retta PQ ( che è la retta richiesta ) sono allora:
\(\displaystyle x-\frac{5}{9}=y+\frac{5}{9}=z \)
Secondo metodo ( senza l'uso di derivate )
Il vettore direzionale delle retta s ( come da me modificata ) è \(\displaystyle (1,-1,0) \)
Il vettore direzionale delle retta r ( come da te calcolato ) è \(\displaystyle (1,2,-3) \)
Il vettore direzionale della retta PQ ( dove P e Q sono i punti prima trovati ) è \(\displaystyle Q-P=(v-u,u+2v-2,3-3v) \)
Imponendo la condizione di ortogonalità della retta PQ con s e con r,si ha il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}1\cdot(v-u)-1\cdot(u+2v-2)=0\\1\cdot(v-u)+2\cdot(u+2v-2)-3\cdot(3-3v)=0\end{cases} \)
Ovvero :
\(\displaystyle \begin{cases}2u+v=2\\u+14v=13\end{cases} \)
che è il medesimo sistema trovato prima e che quindi porta alla stessa soluzione.
perfetto, grazie....!!
un'osservazione: ma allora il modo in cui si puo' "riscrive" l'equazione del paino non è univoco...giusto?
un'osservazione: ma allora il modo in cui si puo' "riscrive" l'equazione del paino non è univoco...giusto?
Giusto....
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