Dubbio su nozione di insieme di relazioni lineari

[teopd]

Ciao a tutti!
Come da oggetto volevo chiedervi se per nozione di insieme di relazioni lineari tra i vettori $v_1,...,v_n$ di $K^m$ s'intende la definizione di vettori linearmente dipendenti/indipendenti o altro.

Grazie

[garnak.olegovitc1]

@teopd,
penso sia l'insieme dei vettori che sono combinazione lineare dei vettori \(v_1,v_2,...,v_n \in K^m\), insomma il classico \(\mathscr{L}(v_1,v_2,...,v_n)\)

[teopd]

"garnak.olegovitc":@teopd,
penso sia l'insieme dei vettori che sono combinazione lineare dei vettori \(v_1,v_2,...,v_n \in K^m\), insomma il classico \(\mathscr{L}(v_1,v_2,...,v_n)\)

Grazie per la risposta intanto,
quindi secondo te si tratta di definizione di combinazione lineare se non erro.
Per cosa intendi con \(\mathscr{L}(v_1,v_2,...,v_n)\) ?

[garnak.olegovitc1]

"teopd":
Per cosa intendi con \(\mathscr{L}(v_1,v_2,...,v_n)\) ?

hai \( v_1,v_2,...,v_n \in K^m\), allora $$\mathscr{L}(v_1,v_2,...,v_n)=\{x\in K^m|x \text{ è combinazione lineare di } v_1,v_2,...,v_n\}$$

[teopd]

"garnak.olegovitc":[quote="teopd"]
Per cosa intendi con \(\mathscr{L}(v_1,v_2,...,v_n)\) ?

hai \( v_1,v_2,...,v_n \in K^m\), allora $$\mathscr{L}(v_1,v_2,...,v_n)=\{x\in K^m|x \text{ è combinazione lineare di } v_1,v_2,...,v_n\}$$[/quote]

Pardon,
ma una combinazione lineari di vettori non è un vettore?

[garnak.olegovitc1]

"teopd":
Pardon,
ma una combinazione lineari di vettori non è un vettore?

perchè non deve esserlo? Hai chiara la def. di un vettore che è combinazione lineare tra i vettori \(v_1,v_2,...,v_n \in K^m\)?? Se si, non capisco la domanda!

[teopd]

"garnak.olegovitc":[quote="teopd"]
Pardon,
ma una combinazione lineari di vettori non è un vettore?

perchè non deve esserlo? Hai chiara la def. di un vettore che è combinazione lineare tra i vettori \(v_1,v_2,...,v_n \in K^m\)?? Se si, non capisco la domanda![/quote]
Rivedendo come hai definito $L$ pensavo che avessi scritto $x$ come scalare invece giustamente l'hai messo come vettore di $K^m$.
Ho fatto un errore di svista, quindi confermo che si tratta della definizione di combinazione lineare, grazie mille

[garnak.olegovitc1]

@teopd,
kein Problem, prego!

[teopd]

"garnak.olegovitc":@teopd,
kein Problem, prego!

Una seconda domanda,
come faccio a dimostrare che l'insieme delle relazioni fra i vettori $v_1,...,v_n$ è un sottospazio vettoriale?

Grazie mille dell'aiuto

[garnak.olegovitc1]

"teopd":
come faccio a dimostrare che l'insieme delle relazioni fra i vettori $v_1,...,v_n$ è un sottospazio vettoriale?

sapendo adesso chi è \( L:=\mathscr{L}(v_1,...,v_n)\), con \( v_1,...,v_n \in K^m \)[nota]con \(K\) corpo commutativo[/nota], ti basta verificare se:

- \(0 \in L\)
- \( \forall x,y \in L( x+y \in L)\)
- \(\forall x \in L, y \in K (y \cdot x \in L)\)

sfrutta la def. di \(L\) (e di combinazione lineare ) . Scrivi un tuo ragionamento