Dubbio su (non)ricoprimento aperto particolare
Prendiamo $[0,1]$ con la topologia euclidea.
Sappiamo che $QQ nn [0,1]$ è denso in $[0,1]$.
Fatto (che intuitivamente mi sembra vero)
Data una qualsiasi numerazione di $QQ nn [0,1]={q_1,q_2,...}$
Data una quasiasi successione a termini reali positivi ${\delta_n}_{n in NN}$
Considero $I_n=(q_n-\delta_n,q_n+\delta_n)$
La famiglia ${I_n}_{n in NN}$ è un ricoprimento di $[0,1]$.
Assumiamo vero il fatto sopra e consideriamo $\delta_n=\epsilon*2^(-n-1)$ con $\epsilon >0$ reale
Siccome $[0,1]$ è compatto, estraggo sottoricoprimento finito $I_(j_1),...,I_(j_n)$
Ora sia $N$ il più grande tra gli indici $j_i$.
Se questo fosse un ricoprimento la sua misura (consideriamo pure Peano Jordan) dovrebbe essere $>=1$
(Infatti per monotonia $[0,1]\subsetI_(j_1)uu...uuI_(j_n) => 1<=\mu(I_(j_1)uu...uuI_(j_n))$)
Invece ho $\mu(I_(j_1)uu...uuI_(j_n))<=\sum_(n=1)^N 2*\delta_n<=\sum_(n=1)^\infty \epsilon*2^(-n)=\epsilon$.
Quindi il Fatto deve essere falso (cioè la famiglia degli $I_n$ non è un ricoprimento in generale) e la cosa mi disturba molto.
Insomma mi sembra di separare i razionali l'uno dall'altro.
Qualcuno può darmi delucidazioni sulla faccenda? Sono molto confuso
Sappiamo che $QQ nn [0,1]$ è denso in $[0,1]$.
Fatto (che intuitivamente mi sembra vero)
Data una qualsiasi numerazione di $QQ nn [0,1]={q_1,q_2,...}$
Data una quasiasi successione a termini reali positivi ${\delta_n}_{n in NN}$
Considero $I_n=(q_n-\delta_n,q_n+\delta_n)$
La famiglia ${I_n}_{n in NN}$ è un ricoprimento di $[0,1]$.
Assumiamo vero il fatto sopra e consideriamo $\delta_n=\epsilon*2^(-n-1)$ con $\epsilon >0$ reale
Siccome $[0,1]$ è compatto, estraggo sottoricoprimento finito $I_(j_1),...,I_(j_n)$
Ora sia $N$ il più grande tra gli indici $j_i$.
Se questo fosse un ricoprimento la sua misura (consideriamo pure Peano Jordan) dovrebbe essere $>=1$
(Infatti per monotonia $[0,1]\subsetI_(j_1)uu...uuI_(j_n) => 1<=\mu(I_(j_1)uu...uuI_(j_n))$)
Invece ho $\mu(I_(j_1)uu...uuI_(j_n))<=\sum_(n=1)^N 2*\delta_n<=\sum_(n=1)^\infty \epsilon*2^(-n)=\epsilon$.
Quindi il Fatto deve essere falso (cioè la famiglia degli $I_n$ non è un ricoprimento in generale) e la cosa mi disturba molto.
Insomma mi sembra di separare i razionali l'uno dall'altro.
Qualcuno può darmi delucidazioni sulla faccenda? Sono molto confuso
Risposte
"arnett":
Secondo me (ma non saprei mostrarlo) il tuo non-ricoprimento in generale non copre $0$ e $1$.
Scusami perché no? Se ho numerato tutti i razionali in $[0,1]$ avrò numerato anche $0$ e $1$, che quindi stanno tra i ${q_n}$, per cui sia $0$ che $1$ avrà il relativo $I_n$ che lo contiene.
"arnett":
EDIT: proviamo così. Definisci $ \delta_n=q_n/2 $ se $ q_n\le 1/2 $, $ \delta_n=(1-q_n)/2 $ se $ q_n\ge1/2 $. Credo funzioni.
Perdonami non ti seguo, in che senso funziona?
Ok ho capito cosa vuoi dire (credo).
Il fatto è che i $\delta_n$ devono essere positivi (intendevo non nulli, positivi strettamente), mentre nel tuo caso sono nulli appunto in $0$ e $1$.
Il fatto è che i $\delta_n$ devono essere positivi (intendevo non nulli, positivi strettamente), mentre nel tuo caso sono nulli appunto in $0$ e $1$.
Hai qualche conoscenza sulla misura di Lebesgue?
Ok credo di avere un controesempio molto evidente a questo:
Prendiamo $x in [0,1]$ irrazionale.
Considero $\delta_n=1/2 d(q_n,x)$ e in questo modo $x$ non sta in nessuno degli $I_n$.
La famiglia che ho considerato prima con $\delta_n=\epsilon*2^(-n-1)$ deve essere molto brutta, nel senso che lascia fuori tantissimi irrazionali.
"jinsang":
Fatto (che intuitivamente mi sembra vero)
Data una qualsiasi numerazione di $QQ nn [0,1]={q_1,q_2,...}$
Data una quasiasi successione a termini reali positivi ${\delta_n}_{n in NN}$
Considero $I_n=(q_n-\delta_n,q_n+\delta_n)$
La famiglia ${I_n}_{n in NN}$ è un ricoprimento di $[0,1]$.
Prendiamo $x in [0,1]$ irrazionale.
Considero $\delta_n=1/2 d(q_n,x)$ e in questo modo $x$ non sta in nessuno degli $I_n$.
La famiglia che ho considerato prima con $\delta_n=\epsilon*2^(-n-1)$ deve essere molto brutta, nel senso che lascia fuori tantissimi irrazionali.
"otta96":
Hai qualche conoscenza sulla misura di Lebesgue?
In effetti sì, questa https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 4&t=203249 ahah
E in effetti penso che la risposta alla domanda che ho fatto in quella sezione coinvolga un'idea simile a questa.
Ovvero numero i razionali e li "impacchetto" con intervalli del tipo $ I_n=(q_n-\delta_n,q_n+\delta_n) $.
Si esatto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo