Dubbio su molteplicità geometrica

[Superandri91]

Ciao. Sto facendo un esercizio che mi chiede di calcolare quando la matrice A è diagonalizzabile, per un parametro k! Syo facendo il caso in cui la molteplicità algebrica è 2! Quindi, affinchè sia diagonalizzabile deve essere molteplicità geometrica uguale a 2! Nella risoluzione mi viene detto che il rango dell'autospazio è 2 e fin qui ci siamo! E che ne segue che l'auovalore che sto esaminando ha molteplicità geometrica uguale a 3-1=2! Perchè? Non dovrebbe essere 3-2, quindi 1?

[lorè91]

ciao, infatti se le colonne sono 3 ( nmero incognite) , dovrebbe essere $00^(3-2)$ cioè come dici tu 1 , quindi poich dipende da un solo parametro la base avrà dimensione 1. Sei sicuro che non hai letto male? hai visto se in altri esercizi simili fa così?

[_prime_number]

La molteplicità geometrica di un autovalore è la dimensione del relativo autospazio. Il rango che trovi è il numero di equazioni linearmente indipendenti che definiscono l'autospazio e la dimensione di un sottospazio è $n-k$ dove $n$ è la dimensione dello spazio ambiente e $k$ il numero di eq. linearmente indipendenti. Puoi pensare ad esempio ad un piano nello spazio: la sua dimensione è $2=3-1$.

Paola

[lorè91]

ciao, paola , ma quindi non potremmo dire che n è il numero di colonne ?
questa discyssioe interessa anche me perchè avevo lo stesso dubbio

[orazioster]

la matrice rappresenta un'applicazione lineare da $V$ a $V$, $V$ spazio vettoriale:
se $V$ ha dimensione $n$, la matrice sarà $n"x"n$.

[Superandri91]

Ok! Se il rango vale 2 e la dim é 3 (perchè è una matrice quadrata di ordine 3), allora la dimensione dell'autospazio è 3-2=1! essendo peró la molteplicità algebrica 2, l'autovalore non è regolare! Invece il libro dice di si perchè fa 3-1=2... ma dove lo prende sto uno? Bah

[_prime_number]

Non è che ti sei sbagliato tra "rango" e "dimensione"? Magari se trascrivi o scannerizzi i passaggi che fa il libro controlliamo meglio.

@silstar: la diagonalizzabilità si discute di matrici quadrate, quindi $n$ dimensione di spazio di partenza, di arrivo e quindi anche numero delle colonne.

Paola

[Superandri91]

ecco l'esercizio svolto (il primo in alto):

grazie per l'aiuto

[lorè91]

ciao, a me sembra che abbia sbagliato il libro , non ha alcun senso 3-1 dovrebbe essere 3-2 quindi non diagonalizzabile, spero che altri possano chiarirci il dubbio

[lorè91]

ciao, poi potete vedere se l'esercizio è giusto?

[franced]

L'endomorfismo è diagonalizzabile per ogni k reale.

[franced]

Per [tex]k=-1[/tex] abbiamo

[tex]A - I = \left( \begin{array}{ccc}
-2 & 0 & 1 \\[1mm]
0 & 0 & 0 \\[1mm]
4 & 0 & -2
\end{array} \right)[/tex]

la matrice ha rango uguale a 1, quindi la molteplicità geometrica
dell'autovalore [tex]\lambda = 1[/tex] è pari a [tex]3-1=2[/tex].
Per [tex]k=-1[/tex] l'endomorfismo è diagonalizzabile.


Per Per [tex]k=3[/tex] abbiamo

[tex]A - I = \left( \begin{array}{ccc}
2 & 0 & 1 \\[1mm]
0 & 0 & 0 \\[1mm]
4 & 0 & 2
\end{array} \right)[/tex]

la matrice ha rango uguale a 1, quindi la molteplicità geometrica
dell'autovalore [tex]\lambda = 1[/tex] è pari a [tex]3-1=2[/tex].
Per [tex]k=3[/tex] l'endomorfismo è diagonalizzabile.

Per gli altri valori di [tex]k[/tex] l'endomorfismo è diagonalizzabile
in quanto gli autovalori sono distinti.