Dubbio su molteplicità geometrica
Ciao. Sto facendo un esercizio che mi chiede di calcolare quando la matrice A è diagonalizzabile, per un parametro k! Syo facendo il caso in cui la molteplicità algebrica è 2! Quindi, affinchè sia diagonalizzabile deve essere molteplicità geometrica uguale a 2! Nella risoluzione mi viene detto che il rango dell'autospazio è 2 e fin qui ci siamo! E che ne segue che l'auovalore che sto esaminando ha molteplicità geometrica uguale a 3-1=2! Perchè? Non dovrebbe essere 3-2, quindi 1?
Risposte
ciao, infatti se le colonne sono 3 ( nmero incognite) , dovrebbe essere $00^(3-2)$ cioè come dici tu 1 , quindi poich dipende da un solo parametro la base avrà dimensione 1. Sei sicuro che non hai letto male? hai visto se in altri esercizi simili fa così?
La molteplicità geometrica di un autovalore è la dimensione del relativo autospazio. Il rango che trovi è il numero di equazioni linearmente indipendenti che definiscono l'autospazio e la dimensione di un sottospazio è $n-k$ dove $n$ è la dimensione dello spazio ambiente e $k$ il numero di eq. linearmente indipendenti. Puoi pensare ad esempio ad un piano nello spazio: la sua dimensione è $2=3-1$.
Paola
Paola
ciao, paola , ma quindi non potremmo dire che n è il numero di colonne ?
questa discyssioe interessa anche me perchè avevo lo stesso dubbio
questa discyssioe interessa anche me perchè avevo lo stesso dubbio
la matrice rappresenta un'applicazione lineare da $V$ a $V$, $V$ spazio vettoriale:
se $V$ ha dimensione $n$, la matrice sarà $n"x"n$.
se $V$ ha dimensione $n$, la matrice sarà $n"x"n$.
Ok! Se il rango vale 2 e la dim é 3 (perchè è una matrice quadrata di ordine 3), allora la dimensione dell'autospazio è 3-2=1! essendo peró la molteplicità algebrica 2, l'autovalore non è regolare! Invece il libro dice di si perchè fa 3-1=2... ma dove lo prende sto uno? Bah
Non è che ti sei sbagliato tra "rango" e "dimensione"? Magari se trascrivi o scannerizzi i passaggi che fa il libro controlliamo meglio.
@silstar: la diagonalizzabilità si discute di matrici quadrate, quindi $n$ dimensione di spazio di partenza, di arrivo e quindi anche numero delle colonne.
Paola
@silstar: la diagonalizzabilità si discute di matrici quadrate, quindi $n$ dimensione di spazio di partenza, di arrivo e quindi anche numero delle colonne.
Paola
ecco l'esercizio svolto (il primo in alto):
grazie per l'aiuto

grazie per l'aiuto

ciao, a me sembra che abbia sbagliato il libro , non ha alcun senso 3-1 dovrebbe essere 3-2 quindi non diagonalizzabile, spero che altri possano chiarirci il dubbio
ciao, poi potete vedere se l'esercizio è giusto?
L'endomorfismo è diagonalizzabile per ogni k reale.
Per [tex]k=-1[/tex] abbiamo
[tex]A - I = \left( \begin{array}{ccc}
-2 & 0 & 1 \\[1mm]
0 & 0 & 0 \\[1mm]
4 & 0 & -2
\end{array} \right)[/tex]
la matrice ha rango uguale a 1, quindi la molteplicità geometrica
dell'autovalore [tex]\lambda = 1[/tex] è pari a [tex]3-1=2[/tex].
Per [tex]k=-1[/tex] l'endomorfismo è diagonalizzabile.
Per Per [tex]k=3[/tex] abbiamo
[tex]A - I = \left( \begin{array}{ccc}
2 & 0 & 1 \\[1mm]
0 & 0 & 0 \\[1mm]
4 & 0 & 2
\end{array} \right)[/tex]
la matrice ha rango uguale a 1, quindi la molteplicità geometrica
dell'autovalore [tex]\lambda = 1[/tex] è pari a [tex]3-1=2[/tex].
Per [tex]k=3[/tex] l'endomorfismo è diagonalizzabile.
Per gli altri valori di [tex]k[/tex] l'endomorfismo è diagonalizzabile
in quanto gli autovalori sono distinti.
[tex]A - I = \left( \begin{array}{ccc}
-2 & 0 & 1 \\[1mm]
0 & 0 & 0 \\[1mm]
4 & 0 & -2
\end{array} \right)[/tex]
la matrice ha rango uguale a 1, quindi la molteplicità geometrica
dell'autovalore [tex]\lambda = 1[/tex] è pari a [tex]3-1=2[/tex].
Per [tex]k=-1[/tex] l'endomorfismo è diagonalizzabile.
Per Per [tex]k=3[/tex] abbiamo
[tex]A - I = \left( \begin{array}{ccc}
2 & 0 & 1 \\[1mm]
0 & 0 & 0 \\[1mm]
4 & 0 & 2
\end{array} \right)[/tex]
la matrice ha rango uguale a 1, quindi la molteplicità geometrica
dell'autovalore [tex]\lambda = 1[/tex] è pari a [tex]3-1=2[/tex].
Per [tex]k=3[/tex] l'endomorfismo è diagonalizzabile.
Per gli altri valori di [tex]k[/tex] l'endomorfismo è diagonalizzabile
in quanto gli autovalori sono distinti.