Dubbio su matrici antisimmetriche

[mitttico]

Ho un dubbio che spero possiate aiutarmi a risolvere.

Rileggendo gli appunti ho trovato una frase che mi lascia un po' perplesso, non capisco se ho scritto un'asinata oppure no..

"Se due matrici A e B sono matrici antisimmetriche, anche AB - BA lo è."

Ma è una bugia, giusto?

[cirasa]

Mmm, prova a verificarlo, no?
Calcola la trasposta di $AB-BA$, tieni conto che $A^t=-A$ e che $B^t=-B$.
Cosa ottieni?

[mitttico]

tutto 0?

[cirasa]

Mostrami i tuoi conti...

[mitttico]

[tex](AB-BA)^t= B^tA^t-A^tB^t=BA-AB\,\![/tex]

[cirasa]

...che non è 0, perchè, come ben sai, non è detto che [tex]AB=BA[/tex].
Qualche tua considerazione? E' vero che [tex]AB-BA[/tex] è antisimmetrica?

[mitttico]

Se fosse antisimmetrica [tex](AB-BA)^t= -(AB-BA) = BA-AB\,\![/tex]

Quindi deduco che sia antisimmetrica

[cirasa]

"mitttico":Ma è una bugia, giusto?

Ti sei risposto da solo. No, non è una bugia.
Date due matrici antisimmetriche $A$ e $B$, si ha che $AB-BA$ è ancora antisimmetrica, perchè $(AB-BA)^t=-(AB-BA)$.

[mitttico]

Grazie mille!

[cirasa]

Prego!