Dubbio su matrice ortogonale
Ciao, ho svolto il seguente esercizio in questo modo e vorrei sapere se è corretto:
Sia lo spazio vettoriale $ V $ è generato da $ (1,1,0,0,0,)^t , (0,1,1,0,0)^t , (0,0,3,1,0)^t $
a) Si drtrmini una base ortonormale di $ V $
b) Si determini la dimensione e una base di $ V^_|_ $
Io ho fatto in questo modo:
per trovare una base ortonormale di $ V $, ho verificato che i vettori che lo generano siano lin. indip. e quindi formino una sua base:
$ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 3 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) ) rArr $ eliminazione Gauss $ rArr ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
quindi ho $ rango=3 $ e di conseguenza i tre vettori sono una base di $ V $
Per trovare una base ortonoemale, a partire dai vettori della base, applico il metodo di Gram-Schmidt e normalizzando ottenedo:
$ u_1= 1/sqrt(2) ( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $ ; $ u_2= 1/sqrt(3/2) ( ( -1/2 ),( 1/2 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $ ; $ u_3= 1/sqrt(3) ( ( 1 ),( -1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $
Ora, questi tre vettori ortonormali uniti in una matrice, dovrebbero essere $ V^_|_ $, di cui sò già che sono lin. indip. e quindi formano una base di $ V^_|_ $ e infine $ dim(V^_|_ )=3 $
E' corretto pensarla in questo modo?
.BRN
Sia lo spazio vettoriale $ V $ è generato da $ (1,1,0,0,0,)^t , (0,1,1,0,0)^t , (0,0,3,1,0)^t $
a) Si drtrmini una base ortonormale di $ V $
b) Si determini la dimensione e una base di $ V^_|_ $
Io ho fatto in questo modo:
per trovare una base ortonormale di $ V $, ho verificato che i vettori che lo generano siano lin. indip. e quindi formino una sua base:
$ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 3 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) ) rArr $ eliminazione Gauss $ rArr ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
quindi ho $ rango=3 $ e di conseguenza i tre vettori sono una base di $ V $
Per trovare una base ortonoemale, a partire dai vettori della base, applico il metodo di Gram-Schmidt e normalizzando ottenedo:
$ u_1= 1/sqrt(2) ( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $ ; $ u_2= 1/sqrt(3/2) ( ( -1/2 ),( 1/2 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $ ; $ u_3= 1/sqrt(3) ( ( 1 ),( -1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $
Ora, questi tre vettori ortonormali uniti in una matrice, dovrebbero essere $ V^_|_ $, di cui sò già che sono lin. indip. e quindi formano una base di $ V^_|_ $ e infine $ dim(V^_|_ )=3 $
E' corretto pensarla in questo modo?
.BRN
Risposte
Non sono d'accordo sull'ultima parte: lo svolgimento del punto a) è corretto concettualmente - non ho verificato i conti...però quella che trovi rimane una base di $V$: perchè improvvisamente dovrebbe diventare una base di $V^(_|_)$?
Applicando la definizione di spazio ortogonale, $V^(_|_) = {vin RR^5:\ =0\ AAwinV}$: quindi ti costruisci i vettori di $V^(_|_)$ prendendo un vettore generico $x=((a),(b),(c),(d),(e)) in RR^5$, moltiplicandolo per i vettori della base di $V$ e imponendo che tutti i prodotti siano uguali a $0$. Così dovresti trovare 2 gradi di libertà, quindi due generatori di $V^(_|_)$, perchè di solito, se $V <= RR^5$, $RR^5 = V o+ V^(_|_)$...
Applicando la definizione di spazio ortogonale, $V^(_|_) = {vin RR^5:\
Grazie mille mascaretti, era proprio la correzione che mi serviva. Infatti ho postato l'esercizio per via del punto b) che mi sembrava troppo scontato. 
Dunque il punto b), si risolverebbe in questo modo:
cerco un vettore generico $ x=(a, b, c, d, e)^t $ che sia ortogonale rispetto ai vettori della base di $ V $. Quindi devo risolvere il sistema:
$ { ( a+b=0 ),( b+c=0 ),( 3c+d=0 ),( d=d ),( e=e ):} $ ottenedo come soluzione: $ d( ( -1/3 ),( 1/3 ),( -1/3 ),( 1 ),( 0 ) )+e( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $
Questi sono due vettori, ortogonali tra loro, che generano $ V^_|_ $, ed essendo lin. indip. ne formano pure una sua base ( $ dim(V^_|_)=2 $ ).
Normalizzandoli, trovo una base ortonormale di $ V^_|_ $ :
$ B_(V^_|_)={ ( ( -1/sqrt(12) ),( 1/sqrt(12) ),( -1/sqrt(12) ),( 1/sqrt(4/3) ),( 0 ) );( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) } $
Che dici? ci sono ora?
.BRN
Dunque il punto b), si risolverebbe in questo modo:
cerco un vettore generico $ x=(a, b, c, d, e)^t $ che sia ortogonale rispetto ai vettori della base di $ V $. Quindi devo risolvere il sistema:
$ { ( a+b=0 ),( b+c=0 ),( 3c+d=0 ),( d=d ),( e=e ):} $ ottenedo come soluzione: $ d( ( -1/3 ),( 1/3 ),( -1/3 ),( 1 ),( 0 ) )+e( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $
Questi sono due vettori, ortogonali tra loro, che generano $ V^_|_ $, ed essendo lin. indip. ne formano pure una sua base ( $ dim(V^_|_)=2 $ ).
Normalizzandoli, trovo una base ortonormale di $ V^_|_ $ :
$ B_(V^_|_)={ ( ( -1/sqrt(12) ),( 1/sqrt(12) ),( -1/sqrt(12) ),( 1/sqrt(4/3) ),( 0 ) );( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) } $
Che dici? ci sono ora?
.BRN
Sì, direi di sì.
Ti suggerirei di provare a dimostrare che se due vettori sono ortogonali allora sono linearmente indipendenti.
Questi sono due vettori, ortogonali tra loro [...] ed essenso lin. indip.
Ti suggerirei di provare a dimostrare che se due vettori sono ortogonali allora sono linearmente indipendenti.
Bene!
Beh... detta a parole, direi che se ho n vettori ortogonali tra loro e ne considero uno in particolare, ho che il prodotto scalare per se stesso mi fornisce la sua norma al quadrato diversa da zero. Se assumo che questo vettore sia lin. dip. cioè si possa scrivere come combinazione lineare degli altri n-1 vettori, ottengo che il prodotto scalare tra esso e la combinazione lineare (che equivalerebbe a fare il prodotto scalare per se stesso) sia pari a zero per via dell'ortogonalità dei vettori e quindi ottenedo il quadrato della norma nullo, diversamente a quanto ipotizzato all'inizio.
Spero sia chiaro come l'ho scritta...
Ritornando all'esercizio ti chiedo un ultima cortesia (o anche a chi si volesse aggiungere alla discussione ), con $ s:RR^5 -> RR^5 $ simmetria di asse $ V $ e direzione $ V^_|_ $, cioè posto $ z in RR^5 $, $ z=v+w $ con $ v in V $ e $ w in V^_|_ $, allora $ s(z)=v-w $, mi si chiede di dire se $ s $ è un isometria e di determinare la matrice di $ s $ rispetto la base canonica di $ RR^5 $.
Io su come risolvere quest'ultimo punto non ho proprio idee, perchè le dispense del mio corso su questi argomenti lasciano molto a desiderare
.
E' possibile avere quantomeno un suggerimento?
EDIT:
lo risolverei così:
determino tutti i vettori $ z=v+w $
$ Z_1=( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )+( ( -1/3 ),( 1/3 ),( -1/3 ),( 1 ),( 0 ) )=( ( 2/3 ),( 4/3 ),( -1/3 ),( 1 ),( 0 ) ) $ ; $ Z_2=( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )+( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) )=( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $
allo stesso modo per gli altri vettori della base di $ V $ ottengo
$ Z_3=( ( -1/3 ),( 4/3 ),( 2/3 ),( 1 ),( 0 ) ) $ ; $ Z_4=( ( 0 ),( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ ; $ Z_5=( ( -1/3 ),( 1/3 ),( 8/3 ),( 2 ),( 0 ) ) $ ; $ Z_6=( ( 0 ),( 0 ),( 3 ),( 1 ),( 1 ) ) $
Data la definizione di $ s(z) $, mi ritrovo con un endomorfismo del tipo:
$ s( ( 2/3 ),( 4/3 ),( -1/3 ),( 1 ),( 0 ) )=( ( 4/3 ),( 2/3 ),( 1/3 ),( -1 ),( 0 ) ) $ ; $ s( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) )=( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( -1 ) ) $ ; $ s( ( -1/3 ),( 4/3 ),( 2/3 ),( 1 ),( 0 ) )=( ( 1/3 ),( 2/3 ),( 4/3 ),( -1 ),( 0 ) ) $ ; $ s( ( 0 ),( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) )=( ( 0 ),( 1 ),( 1 ),( 0 ),( -1 ) ) $ ; $ s( ( -1/3 ),( 1/3 ),( 8/3 ),( 2 ),( 0 ) )=( ( 1/3 ),( -1/3 ),( 10/3 ),( 0 ),( 0 ) ) $ ; $ s( ( 0 ),( 0 ),( 3 ),( 1 ),( 1 ) )=( ( 0 ),( 0 ),( 3 ),( 1 ),( -1 ) ) $
quindi riscrivendo i vettori del dominio in $ V $ rispetto la base canonica di $ RR^5 $, ne determino le relative immagini e la matrice formata da questi vettori immagine è $ s $.
Ma come faccio a dire se è un isometria?
Grazie mille!
.BRN
"Mascaretti":
Ti suggerirei di provare a dimostrare che se due vettori sono ortogonali allora sono linearmente indipendenti.
Beh... detta a parole, direi che se ho n vettori ortogonali tra loro e ne considero uno in particolare, ho che il prodotto scalare per se stesso mi fornisce la sua norma al quadrato diversa da zero. Se assumo che questo vettore sia lin. dip. cioè si possa scrivere come combinazione lineare degli altri n-1 vettori, ottengo che il prodotto scalare tra esso e la combinazione lineare (che equivalerebbe a fare il prodotto scalare per se stesso) sia pari a zero per via dell'ortogonalità dei vettori e quindi ottenedo il quadrato della norma nullo, diversamente a quanto ipotizzato all'inizio.
Spero sia chiaro come l'ho scritta...
Ritornando all'esercizio ti chiedo un ultima cortesia (o anche a chi si volesse aggiungere alla discussione
), con $ s:RR^5 -> RR^5 $ simmetria di asse $ V $ e direzione $ V^_|_ $, cioè posto $ z in RR^5 $, $ z=v+w $ con $ v in V $ e $ w in V^_|_ $, allora $ s(z)=v-w $, mi si chiede di dire se $ s $ è un isometria e di determinare la matrice di $ s $ rispetto la base canonica di $ RR^5 $.Io su come risolvere quest'ultimo punto non ho proprio idee, perchè le dispense del mio corso su questi argomenti lasciano molto a desiderare
. E' possibile avere quantomeno un suggerimento?
EDIT:
lo risolverei così:
determino tutti i vettori $ z=v+w $
$ Z_1=( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )+( ( -1/3 ),( 1/3 ),( -1/3 ),( 1 ),( 0 ) )=( ( 2/3 ),( 4/3 ),( -1/3 ),( 1 ),( 0 ) ) $ ; $ Z_2=( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )+( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) )=( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $
allo stesso modo per gli altri vettori della base di $ V $ ottengo
$ Z_3=( ( -1/3 ),( 4/3 ),( 2/3 ),( 1 ),( 0 ) ) $ ; $ Z_4=( ( 0 ),( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ ; $ Z_5=( ( -1/3 ),( 1/3 ),( 8/3 ),( 2 ),( 0 ) ) $ ; $ Z_6=( ( 0 ),( 0 ),( 3 ),( 1 ),( 1 ) ) $
Data la definizione di $ s(z) $, mi ritrovo con un endomorfismo del tipo:
$ s( ( 2/3 ),( 4/3 ),( -1/3 ),( 1 ),( 0 ) )=( ( 4/3 ),( 2/3 ),( 1/3 ),( -1 ),( 0 ) ) $ ; $ s( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) )=( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( -1 ) ) $ ; $ s( ( -1/3 ),( 4/3 ),( 2/3 ),( 1 ),( 0 ) )=( ( 1/3 ),( 2/3 ),( 4/3 ),( -1 ),( 0 ) ) $ ; $ s( ( 0 ),( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) )=( ( 0 ),( 1 ),( 1 ),( 0 ),( -1 ) ) $ ; $ s( ( -1/3 ),( 1/3 ),( 8/3 ),( 2 ),( 0 ) )=( ( 1/3 ),( -1/3 ),( 10/3 ),( 0 ),( 0 ) ) $ ; $ s( ( 0 ),( 0 ),( 3 ),( 1 ),( 1 ) )=( ( 0 ),( 0 ),( 3 ),( 1 ),( -1 ) ) $
quindi riscrivendo i vettori del dominio in $ V $ rispetto la base canonica di $ RR^5 $, ne determino le relative immagini e la matrice formata da questi vettori immagine è $ s $.
Ma come faccio a dire se è un isometria?
Grazie mille!
.BRN
La dimostrazione è giusta, bravo.
Per quanto riguarda il tuo nuovo esercizio, tu puoi scomporre un generico vettore di $RR^5$ attrverso le proiezioni ortogonali su $V$ e su $V^(_|_)$: detti $v_1,\ v_2,\ v_3$ i vettori della base* di $V$ e $w_1,\ w_2$ i vettori della base* di $V^(_|_)$ (*la base dev'essere necessariamente ortogonale), chiamando $pi$ l'operatore che associa a $x in RR^5$ le sue proiezioni su $V$ e $V^(_|_)$ avrai che: $pi(x) = frac()()v_1+frac()()v_2+frac()()v_3+frac ()()w_1+frac ()()w_2$. Nota che $ frac()()v_1+frac()()v_2+frac()()v_3=v in V$ e $frac ()()w_1+frac ()()w_2 = w in V^(_|_)$
Quindi, quello che abbiamo fatto ora è scomporre il generico vettore di $RR^5$ come somma di un vettore di $V$ e uno di $V^(_|_)$.
La simmetria di asse (o schermo) $V$ e direzione $V^(_|_)$, come già avevi detto te, gira il segno della parte relativa a $V^(_|_)$, cioè, detta $s:RR^5toRR^5$ la simmetria, $s(x)=frac()()v_1+frac()()v_2+frac()()v_3-frac ()()w_1-frac ()()w_2$.
A partire da questi spunti, costruisci la matrice rappresentativa di $s$ e, per vedere se è un'isometria, puoi vederne gli autovalori (che in un'isometria in uno spazio euclideo possono essere solo $+-1$), oppure puoi usare la definizione, cioè vedere se $||s(x)|| = ||x||$.
Per quanto riguarda il tuo nuovo esercizio, tu puoi scomporre un generico vettore di $RR^5$ attrverso le proiezioni ortogonali su $V$ e su $V^(_|_)$: detti $v_1,\ v_2,\ v_3$ i vettori della base* di $V$ e $w_1,\ w_2$ i vettori della base* di $V^(_|_)$ (*la base dev'essere necessariamente ortogonale), chiamando $pi$ l'operatore che associa a $x in RR^5$ le sue proiezioni su $V$ e $V^(_|_)$ avrai che: $pi(x) = frac(
Quindi, quello che abbiamo fatto ora è scomporre il generico vettore di $RR^5$ come somma di un vettore di $V$ e uno di $V^(_|_)$.
La simmetria di asse (o schermo) $V$ e direzione $V^(_|_)$, come già avevi detto te, gira il segno della parte relativa a $V^(_|_)$, cioè, detta $s:RR^5toRR^5$ la simmetria, $s(x)=frac(
A partire da questi spunti, costruisci la matrice rappresentativa di $s$ e, per vedere se è un'isometria, puoi vederne gli autovalori (che in un'isometria in uno spazio euclideo possono essere solo $+-1$), oppure puoi usare la definizione, cioè vedere se $||s(x)|| = ||x||$.
Purtroppo anche gli autovalori ammessi per una simmetria sono $pm1$, quindi in realtà non basta per verificarlo.
O meglio, devi verificare che gli autovalori siano quelli e che la matrice sia diagonalizzabile.
Infatti solo le simmetrie con direzione e asse ortogonali fra di loro sono isometrie (le altre simmetrie no!), e non ci si mette molto a dimostrare che sono anche autoaggiunte e quindi diagonalizzabili. (Quindi la risposta al tuo quesito è che in questo caso la simmetria in questione è un'isometria)
E' anche abbastanza intuitiva la cosa: pensa a $RR^2$ con la base canonica e con un'altra base non ortogonale. Se simmetrizzi con asse $e_2$ e direzione $e_1$ ti accorgi subito che la norma del vettore si conserva; prova invece a scomporre il vettore su una base non ortogonale, ti accorgerai che simmetrizzandolo ottieni un vettore di norma diversa.
O meglio, devi verificare che gli autovalori siano quelli e che la matrice sia diagonalizzabile.
Infatti solo le simmetrie con direzione e asse ortogonali fra di loro sono isometrie (le altre simmetrie no!), e non ci si mette molto a dimostrare che sono anche autoaggiunte e quindi diagonalizzabili. (Quindi la risposta al tuo quesito è che in questo caso la simmetria in questione è un'isometria)
E' anche abbastanza intuitiva la cosa: pensa a $RR^2$ con la base canonica e con un'altra base non ortogonale. Se simmetrizzi con asse $e_2$ e direzione $e_1$ ti accorgi subito che la norma del vettore si conserva; prova invece a scomporre il vettore su una base non ortogonale, ti accorgerai che simmetrizzandolo ottieni un vettore di norma diversa.
Graszie a tutti e due per le vostre risposte, sono davvero preziose.
@Mascaretti (o Giuly19):
ho compreso tutto quello che mi hai scritto, ma su come deve essere costruita $ s $ ho ancora forti dubbi e probabilmente sto affogando in un bicchier d'acqua...
La matrice $ s $ applicata ad un vettore generico $ x in RR^5 $, deve scomporre tale vettore come somma di un vettore di $ V $ e uno di $ V^_|_ $ e apllicare la simmetria (cambiare il verso delle ultime due componenti). Ma quindi questa matrice avrebbe per colonne i vettori $ ( ( v_1/||v_1||*v_1 ;, v_2/||v_2||*v_2 ;, v_3/||v_3||*v_3 ;, -w_1/||w_1||*w_1 ;, -w_2/||w_2||*w_2 ) ) $ ??
Sono un po' confuso...
.BRN
@Mascaretti (o Giuly19):
ho compreso tutto quello che mi hai scritto, ma su come deve essere costruita $ s $ ho ancora forti dubbi e probabilmente sto affogando in un bicchier d'acqua...
La matrice $ s $ applicata ad un vettore generico $ x in RR^5 $, deve scomporre tale vettore come somma di un vettore di $ V $ e uno di $ V^_|_ $ e apllicare la simmetria (cambiare il verso delle ultime due componenti). Ma quindi questa matrice avrebbe per colonne i vettori $ ( ( v_1/||v_1||*v_1 ;, v_2/||v_2||*v_2 ;, v_3/||v_3||*v_3 ;, -w_1/||w_1||*w_1 ;, -w_2/||w_2||*w_2 ) ) $ ??
Sono un po' confuso...
.BRN
La matrice rappresentativa di $s$ sarà $A_s = ((s(e_1),s(e_2),s(e_3),s(e_4),s(e_5))$ supponendo di utilizzare la base canonica sia per il dominio che per il codominio. Come costruire $s(x)\ AAx inRR^5$ lo sai già, ora si tratta solo di fare un po' di conti. Buon lavoro.
Ok, spero di aver capito.
Dunque, costruire la matrice $ s $ rispetto la base canonica, significa costruire la matrice $ A_s=(s(e_1), s(e_2), s(e_3), s(e_4), s(e_5)) $ con $ (e_1, e_2, e_3, e_4, e_5) $ vettori della base canonica in $ RR^5 $, sapenso che per un generico vettore $ x $ di $ RR^5 $ la simmetria è data da $s(x)=frac()()v_1+frac()()v_2+frac()()v_3-frac ()()w_1-frac ()()w_2$.
Quindi ho che (per semplicità non faccio i conti):
$ s(e_1)=s( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )= <( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )|(( 1/sqrt(2) ),( 1/sqrt(2) ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )>1/sqrt(2)( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) + <( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )|(( -1/sqrt(6) ),( 1/sqrt(6) ),( 1/sqrt(3/2) ),( 0 ),( 0 ) )>1/sqrt(3/2)( ( -1/2 ),( 1/2 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) + <( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )|(( 1/sqrt(3) ),( -1/sqrt(3) ),( 1/sqrt(3) ),( 0 ),( 0 ) )>1/sqrt(3)( ( 1 ),( -1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) - <( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )|(( -1/sqrt(12) ),( 1/sqrt(12) ),( -1/sqrt(12) ),( 1/sqrt(4/3) ),( 0 ) )>1/sqrt(4/3)( ( -1/3 ),( 1/3 ),( -1/3 ),( 1 ),( 0 ) ) - <( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )|(( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) )>( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $
$ s(e_2)=s( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )= <( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )|(( 1/sqrt(2) ),( 1/sqrt(2) ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )>1/sqrt(2)( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) + <( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )|(( -1/sqrt(6) ),( 1/sqrt(6) ),( 1/sqrt(3/2) ),( 0 ),( 0 ) )>1/sqrt(3/2)( ( -1/2 ),( 1/2 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) + <( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )|(( 1/sqrt(3) ),( -1/sqrt(3) ),( 1/sqrt(3) ),( 0 ),( 0 ) )>1/sqrt(3)( ( 1 ),( -1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) - <( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )|(( -1/sqrt(12) ),( 1/sqrt(12) ),( -1/sqrt(12) ),( 1/sqrt(4/3) ),( 0 ) )>1/sqrt(4/3)( ( -1/3 ),( 1/3 ),( -1/3 ),( 1 ),( 0 ) ) - <( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )|(( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) )>( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $
$ s(e_3)=.... $
$ s(e_4)=.... $
$ s(e_5)=.... $
dove come vettori $ v_1, v_2, v_3, w_1, w_2 $ ho considerato quelli delle basi ortonomali trovate prima.
E' corretto?
Dunque, costruire la matrice $ s $ rispetto la base canonica, significa costruire la matrice $ A_s=(s(e_1), s(e_2), s(e_3), s(e_4), s(e_5)) $ con $ (e_1, e_2, e_3, e_4, e_5) $ vettori della base canonica in $ RR^5 $, sapenso che per un generico vettore $ x $ di $ RR^5 $ la simmetria è data da $s(x)=frac(
Quindi ho che (per semplicità non faccio i conti):
$ s(e_1)=s( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )= <( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )|(( 1/sqrt(2) ),( 1/sqrt(2) ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )>1/sqrt(2)( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) + <( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )|(( -1/sqrt(6) ),( 1/sqrt(6) ),( 1/sqrt(3/2) ),( 0 ),( 0 ) )>1/sqrt(3/2)( ( -1/2 ),( 1/2 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) + <( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )|(( 1/sqrt(3) ),( -1/sqrt(3) ),( 1/sqrt(3) ),( 0 ),( 0 ) )>1/sqrt(3)( ( 1 ),( -1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) - <( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )|(( -1/sqrt(12) ),( 1/sqrt(12) ),( -1/sqrt(12) ),( 1/sqrt(4/3) ),( 0 ) )>1/sqrt(4/3)( ( -1/3 ),( 1/3 ),( -1/3 ),( 1 ),( 0 ) ) - <( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )|(( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) )>( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $
$ s(e_2)=s( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )= <( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )|(( 1/sqrt(2) ),( 1/sqrt(2) ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )>1/sqrt(2)( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) + <( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )|(( -1/sqrt(6) ),( 1/sqrt(6) ),( 1/sqrt(3/2) ),( 0 ),( 0 ) )>1/sqrt(3/2)( ( -1/2 ),( 1/2 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) + <( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )|(( 1/sqrt(3) ),( -1/sqrt(3) ),( 1/sqrt(3) ),( 0 ),( 0 ) )>1/sqrt(3)( ( 1 ),( -1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) - <( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )|(( -1/sqrt(12) ),( 1/sqrt(12) ),( -1/sqrt(12) ),( 1/sqrt(4/3) ),( 0 ) )>1/sqrt(4/3)( ( -1/3 ),( 1/3 ),( -1/3 ),( 1 ),( 0 ) ) - <( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )|(( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) )>( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $
$ s(e_3)=.... $
$ s(e_4)=.... $
$ s(e_5)=.... $
dove come vettori $ v_1, v_2, v_3, w_1, w_2 $ ho considerato quelli delle basi ortonomali trovate prima.
E' corretto?
Perfavore, nessuno sa dirmi se è corretto?
Grazie mille!
.BRN
Grazie mille!
.BRN
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