Dubbio su l'immagine di un aperto mediante un omeomorfismo

[dark121it]

Siano $(X,\tau_{X})$ e $(Y,\tau_{Y})$ due
spazi topologici, $A\subset X$, $B\subset Y$.

Allora sappiamo che anche $(A,\tau_{A})$, $(B,\tau_{B})$
sono spazi topologici con le topologie indotte.

Sia $f:A\to B$ e supponiamo che valgano le seguenti condizioni:

1) $A$ è aperto in $X$ (ossia $A\in\tau_{X}$).

2) $f$ è un omeomorfismo$\tau_{A}-\tau_{B}$.

Domanda: in tali ipotesi si può dimostrare che $f(A)$
è aperto in $Y$ (ossia $f(A)\in\tau_{Y}$)?

A livello intuitivo direi di no; però non riesco a trovare un controesempio.

Osservo che il fatto che $f$ sia un omeomorfismo $\tau_{A}-\tau_{B}$
mi dice solo che se prendo un $U\in\tau_{A}$ $\Rightarrow$ $f(U)\in\tau_{B}$
ma non mi garantisce che $f(U)\in\tau_{Y}$.

Grazie a tutti!

[perplesso1]

Considera l'insieme ${x,y,z}$ con le due topologie $\tau_1 = {\emptyset,{y,z},{z},{x,y,z}}$ e $\tau_2 = {\emptyset, {z},{x,y,z}}$. Le topologie $\tau_1$ e $\tau_2$ sono diverse ma inducono la stessa topologia sul sottoinsieme ${y,z}$, in altre parole la mappa identica $id: ({y,z},\tau_1) -> ( {y,z}, \tau_2 )$ è un omeomorfismo, ma ${y,z}$ non è aperto in $({x,y,z}, \tau_2)$

[dark121it]

Grande!!!! Grazie moltissimo!!!