Dubbio su invertibilità.
Salve a tutti.Ho un dubbio sulla risoluzione di un esercizio relativo all'invertibilità:
Sia $AinCC(n)$ ,con $A$=$A^n$, per quali $\lambdaAinCC$, $\lambdaA-I$ è invertibile?
Questo è il mio ragionamento:
Affinchè sia invertibile è necessario che il suo determinante si adiverso da zero per cui $det( \lambdaA-I)!=0$
Ho due casi:
-se $\lambda=0$ mi rimmarebbe il determinante della matrice identità che ovviamente è diverso da zero e quindi invertibile.
-se $\lambda!=0$, in questo caso ho
$det( \lambdaA-I)=det\lambda(A-\lambda^-1I)=\lambda^ndet(-\lambda^-1I+A)$
Quindi per far si che il determinante sia diverso da zero basta che $\lambda^-1$ non appertenga allo spettro di A.
Il mio problema in tutto questo ragionamento è il fatto di aver trascurato $A$=$A^n$.Per cui devo aver sbagliato da qualche parte.Mi sapreste dire dove?vi ringrazio aticipatamente.
Sia $AinCC(n)$ ,con $A$=$A^n$, per quali $\lambdaAinCC$, $\lambdaA-I$ è invertibile?
Questo è il mio ragionamento:
Affinchè sia invertibile è necessario che il suo determinante si adiverso da zero per cui $det( \lambdaA-I)!=0$
Ho due casi:
-se $\lambda=0$ mi rimmarebbe il determinante della matrice identità che ovviamente è diverso da zero e quindi invertibile.
-se $\lambda!=0$, in questo caso ho
$det( \lambdaA-I)=det\lambda(A-\lambda^-1I)=\lambda^ndet(-\lambda^-1I+A)$
Quindi per far si che il determinante sia diverso da zero basta che $\lambda^-1$ non appertenga allo spettro di A.
Il mio problema in tutto questo ragionamento è il fatto di aver trascurato $A$=$A^n$.Per cui devo aver sbagliato da qualche parte.Mi sapreste dire dove?vi ringrazio aticipatamente.
Risposte
Carino questo esercizio. Io posso darti un'informazione aggiuntiva.
Finora tu hai provato che
1) Se [tex]\lambda=0[/tex], allora [tex]\lambda A-I[/tex] è invertibile;
2) Se [tex]\lambda\neq 0[/tex], allora
[tex]\lambda A-I\textrm{ è invertibile }\Leftrightarrow\ \lambda^{-1}\notin\textrm{Sp}(A)[/tex] *
Ora, ciò che puoi osservare è questo (con un discorso analogo a quello fatto qui punto a., se ci sono problemi ti dò più dettagli):
Se [tex]\lambda[/tex] è autovalore, allora [tex]\lambda\in\{0\}\cup\{x\in\mathbb{C}:\,x^{n-1}=1\}[/tex].
Inoltre, è facile osservare che, se [tex]\lambda\neq 0[/tex], si ha che
[tex]\lambda\notin\{x\in\mathbb{C}:\,x^{n-1}=1\}\ \Rightarrow\ \lambda^{-1}\notin\{x\in\mathbb{C}:\,x^{n-1}=1\}[/tex].
Pertanto arriviamo a questo risultato (che comprende anche il caso [tex]\lambda=0[/tex]):
[tex]\lambda\notin\{x\in\mathbb{C}:\,x^{n-1}=1\}\ \Rightarrow\ \lambda A-I\textrm{ è invertibile }[/tex] (*)
Il viceversa di (*), secondo me, non è vero. Ora non mi va di scrivere un controesempio ad hoc, ma non dovrebbe funzionare.
Questo è il massimo delle informazioni che riesco ad ottenere. Se mi viene in mente qualcos'altro ti farò sapere.
Ciao!
*: con [tex]\textrm{Sp}(A)[/tex] ho denotato lo spettro di [tex]A[/tex].
Finora tu hai provato che
1) Se [tex]\lambda=0[/tex], allora [tex]\lambda A-I[/tex] è invertibile;
2) Se [tex]\lambda\neq 0[/tex], allora
[tex]\lambda A-I\textrm{ è invertibile }\Leftrightarrow\ \lambda^{-1}\notin\textrm{Sp}(A)[/tex] *
Ora, ciò che puoi osservare è questo (con un discorso analogo a quello fatto qui punto a., se ci sono problemi ti dò più dettagli):
Se [tex]\lambda[/tex] è autovalore, allora [tex]\lambda\in\{0\}\cup\{x\in\mathbb{C}:\,x^{n-1}=1\}[/tex].
Inoltre, è facile osservare che, se [tex]\lambda\neq 0[/tex], si ha che
[tex]\lambda\notin\{x\in\mathbb{C}:\,x^{n-1}=1\}\ \Rightarrow\ \lambda^{-1}\notin\{x\in\mathbb{C}:\,x^{n-1}=1\}[/tex].
Pertanto arriviamo a questo risultato (che comprende anche il caso [tex]\lambda=0[/tex]):
[tex]\lambda\notin\{x\in\mathbb{C}:\,x^{n-1}=1\}\ \Rightarrow\ \lambda A-I\textrm{ è invertibile }[/tex] (*)
Il viceversa di (*), secondo me, non è vero. Ora non mi va di scrivere un controesempio ad hoc, ma non dovrebbe funzionare.
Questo è il massimo delle informazioni che riesco ad ottenere. Se mi viene in mente qualcos'altro ti farò sapere.
Ciao!
*: con [tex]\textrm{Sp}(A)[/tex] ho denotato lo spettro di [tex]A[/tex].
Intanto grazie per la risposta e soprattutto per il chiarimento relativo al fatto che le matrici idempotenti hanno solo autovalori 1 o 0!
Però non capisco come mai scrivi che $\lambda^-1notin{x inCC : x^(n-1) =1}$? cioè non mi è chiaro $x^(n-1) =1$.scusa la domanda da ingnorante...
Però non capisco come mai scrivi che $\lambda^-1notin{x inCC : x^(n-1) =1}$? cioè non mi è chiaro $x^(n-1) =1$.scusa la domanda da ingnorante...
Il mio ragionamento era questo:
se [tex]\lambda\in\mathbb{C}[/tex] è autovalore, allora, in modo analogo a quanto visto nel link precedente, [tex]\lambda^n-\lambda=0[/tex].
Quindi [tex]\lambda(\lambda^{n-1}-1)=0[/tex]. Quindi [tex]\lambda=0[/tex] oppure [tex]\lambda^{n-1}=1[/tex].
Se [tex]\lambda\neq 0[/tex], allora [tex]\lambda^{n-1}=1[/tex] se e solo se [tex](\lambda^{-1})^{n-1}=1[/tex].
Ho chiarito i punti che non avevo spiegato per bene?
se [tex]\lambda\in\mathbb{C}[/tex] è autovalore, allora, in modo analogo a quanto visto nel link precedente, [tex]\lambda^n-\lambda=0[/tex].
Quindi [tex]\lambda(\lambda^{n-1}-1)=0[/tex]. Quindi [tex]\lambda=0[/tex] oppure [tex]\lambda^{n-1}=1[/tex].
Se [tex]\lambda\neq 0[/tex], allora [tex]\lambda^{n-1}=1[/tex] se e solo se [tex](\lambda^{-1})^{n-1}=1[/tex].
Ho chiarito i punti che non avevo spiegato per bene?
Chiarissimo!adesso torna tutto.Ti ringrazio!
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