Dubbio su inversione matrice (algebra lineare for dummies)
Ciao!
Sono arrivato al capitolo 2.7 (matrici simili) delle dispense "algebra lineare for dummies".
In fondo a pagina 27 viene calcolata l'inversa della seguente matrice:
$N = [ ( 1 , -1 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ) ]$
Il calcolo viene eseguito secondo questo principio (cit.):
b) costruisco una matrice che abbia per colonne le coordinate rispetto a B degli elementi di E
dove $B = {(1,1,0),(-1,0,1),(1,1,1)}$, mentre $E$ è la base canonica di $RR^3$.
Il risultato dell'operazione è:
$N^{-1} = [ ( -1 , 2 , -1 ),( -1 , 1 , 0 ),( 1 , -1 , 1 ) ]$
La prima domanda che vi pongo è la seguente:
Sono arrivato al capitolo 2.7 (matrici simili) delle dispense "algebra lineare for dummies".
In fondo a pagina 27 viene calcolata l'inversa della seguente matrice:
$N = [ ( 1 , -1 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ) ]$
Il calcolo viene eseguito secondo questo principio (cit.):
b) costruisco una matrice che abbia per colonne le coordinate rispetto a B degli elementi di E
dove $B = {(1,1,0),(-1,0,1),(1,1,1)}$, mentre $E$ è la base canonica di $RR^3$.
Il risultato dell'operazione è:
$N^{-1} = [ ( -1 , 2 , -1 ),( -1 , 1 , 0 ),( 1 , -1 , 1 ) ]$
La prima domanda che vi pongo è la seguente:
- [*:hqupcst9]Questo metodo è sempre valido? Può essere cioè applicato a ogni matrice invertibile?[/*:m:hqupcst9][/list:u:hqupcst9]
Ho calcolato poi l'inversa con il "metodo del determinate", cioè ho calcolato il determinante di $N$:
$det(N) = 1$
dopodiché ho calcolato ciascun elemento della matrice inversa secondo la formula:
$b_{ij} = (-1)^{i+j} {det(A_{ij})}/{det(A)}$
ottenendo:
$N^{-1} = [ ( -1 , -1 , 1 ),( 2 , 1 , -1 ),( -1 , 0 , 1 ) ]$
Il risultato è una matrice che è pari alla trasposta del risultato ottenuto con il primo metodo.
- [*:hqupcst9]Come mai trovo due matrici l'una la trasposta dell'altra?[/*:m:hqupcst9][/list:u:hqupcst9]
Grazie!
Risposte
Grazie mille per la risposta Sergio!
Il metodo si può riassumere nel modo seguente:
Sia $A$ una matrice quadrata,
[list=1][*:2ryfs6yh]calcolo il determinante $A$, se è diverso da zero proseguo,
[/*:m:2ryfs6yh]
[*:2ryfs6yh]traspongo $A$,
[/*:m:2ryfs6yh]
[*:2ryfs6yh]calcolo gli elementi di $A^-1$ come al post precedente.[/*:m:2ryfs6yh][/list:o:2ryfs6yh]
Confermi?
Il metodo si può riassumere nel modo seguente:
Sia $A$ una matrice quadrata,
[list=1][*:2ryfs6yh]calcolo il determinante $A$, se è diverso da zero proseguo,
[/*:m:2ryfs6yh]
[*:2ryfs6yh]traspongo $A$,
[/*:m:2ryfs6yh]
[*:2ryfs6yh]calcolo gli elementi di $A^-1$ come al post precedente.[/*:m:2ryfs6yh][/list:o:2ryfs6yh]
Confermi?
Sì sì i calcoli nell'esempio in questione tornano. 
Inoltre vorrei capire se il metodo proposto nelle dispense (algebra lineare for dummies) è sempre valido, cioè
Oppure questo metodo può essere applicato solo in "circostanze particolari"? Come nell'esempio, in cui la matrice da invertire è una matrice di cambiamento di base da $B$ a $E$, dove $B$ è una base qualsiasi, mentre $E$ è la base canonica.
Grazie!
Inoltre vorrei capire se il metodo proposto nelle dispense (algebra lineare for dummies) è sempre valido, cioè
"Jack87":
In fondo a pagina 27 viene calcolata l'inversa della seguente matrice:
$N = [ ( 1 , -1 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ) ]$
Il calcolo viene eseguito secondo questo principio (cit.):
b) costruisco una matrice che abbia per colonne le coordinate rispetto a B degli elementi di E
dove $B = {(1,1,0),(-1,0,1),(1,1,1)}$, mentre $E$ è la base canonica di $RR^3$.
Oppure questo metodo può essere applicato solo in "circostanze particolari"? Come nell'esempio, in cui la matrice da invertire è una matrice di cambiamento di base da $B$ a $E$, dove $B$ è una base qualsiasi, mentre $E$ è la base canonica.
Grazie!
Grazie mille Sergio!
Ora mi è chiaro.
Ora mi è chiaro.
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