Dubbio su insiemi chiusi
Ciao a tutti.
Avrei un piccolo dubbio relativo al concetto di insieme chiuso.
Riprendendo quanto scritto in "Analisi Matematica 1 - Pagani-Salsa", abbiamo che
Dato un sottinsieme E di R, le tre condizioni sono equivalenti:
1) E è chiuso;
2) La frontiera di E è contenuta in E;
3) Ogni punto di accumulazione di E appartiene ad E.
Considero l'intervallo $ [0,+oo) $ che so essere un insieme chiuso perché il suo complementare $ (-oo,0) $ è aperto.
Cercando di utilizzare la caratterizzazione che ho citato, mi sono sorti alcuni dubbi:
(i) I punti di accumulazione di $ [0,+oo) $ sono $ 0 $ e $ +oo $ e quindi, poiché l'insieme è chiuso, devono essere contenuti nell'insieme.
Allora mi chiedo: $ +oo $ deve essere considerato un punto come tutti gli altri?
Deve essere considerato alla stregua del numero 3 per esempio?
(ii) Se $ +oo $ è "un punto come gli altri", utilizzando un'altra caratterizzazione degli insiemi chiusi (cioè quella secondo cui un insieme è chiuso se ogni successione convergente dell'insieme converge ad un punto dell'insieme), questa non varrebbe anche per le successioni divergenti?
Per esempio la successione $ a_n=n $ che è divergente, in questo caso non "divergerebbe" ad un punto dell'insieme che è per l'appunto $ +oo $ ?
Vi ringrazio anticipatamente per le eventuali risposte
Avrei un piccolo dubbio relativo al concetto di insieme chiuso.
Riprendendo quanto scritto in "Analisi Matematica 1 - Pagani-Salsa", abbiamo che
Dato un sottinsieme E di R, le tre condizioni sono equivalenti:
1) E è chiuso;
2) La frontiera di E è contenuta in E;
3) Ogni punto di accumulazione di E appartiene ad E.
Considero l'intervallo $ [0,+oo) $ che so essere un insieme chiuso perché il suo complementare $ (-oo,0) $ è aperto.
Cercando di utilizzare la caratterizzazione che ho citato, mi sono sorti alcuni dubbi:
(i) I punti di accumulazione di $ [0,+oo) $ sono $ 0 $ e $ +oo $ e quindi, poiché l'insieme è chiuso, devono essere contenuti nell'insieme.
Allora mi chiedo: $ +oo $ deve essere considerato un punto come tutti gli altri?
Deve essere considerato alla stregua del numero 3 per esempio?
(ii) Se $ +oo $ è "un punto come gli altri", utilizzando un'altra caratterizzazione degli insiemi chiusi (cioè quella secondo cui un insieme è chiuso se ogni successione convergente dell'insieme converge ad un punto dell'insieme), questa non varrebbe anche per le successioni divergenti?
Per esempio la successione $ a_n=n $ che è divergente, in questo caso non "divergerebbe" ad un punto dell'insieme che è per l'appunto $ +oo $ ?
Vi ringrazio anticipatamente per le eventuali risposte
Risposte
Ciao, no $+oo$ non appartiene a $RR$, cioè non è un "punto".
La scrittura $[0,+oo)$ è una scrittura imprecisa per denotare l'intervallo ${x in RR : x ge 0}$.
La scrittura $[0,+oo)$ è una scrittura imprecisa per denotare l'intervallo ${x in RR : x ge 0}$.
Si denota con \(\overline{\mathbb R}\) (o \(\tilde{\mathbb R}\), ecc...) l'insieme \(\mathbb R\cup \{\pm \infty\}\). In questo insieme (dotato di una opportuna metrica), \(+\infty\) è un punto come gli altri. In \(\mathbb R\), invece, non lo è, come dice Martino.
[ot]Anche a me piace Ian Gillan, ma l'ho scoperto a partire dal suo disco con i Black Sabbath, "Born Again". Quel disco, tra l'altro, sembra non piacere a nessuno, ma a me si. Da lì sono passato ai Deep Purple.[/ot]
[ot]Anche a me piace Ian Gillan, ma l'ho scoperto a partire dal suo disco con i Black Sabbath, "Born Again". Quel disco, tra l'altro, sembra non piacere a nessuno, ma a me si. Da lì sono passato ai Deep Purple.[/ot]
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