Dubbio su indipendenza lineare per individuare una base di uno spazio vettoriale
Salve, ho un dubbio su come individuare una base di uno spazio vettoriale.
Dalla teoria so che di una matrice ridotta a gradini col metodo di Gauss, le sue righe non nulle o le colonne formate dai pivot, sono linearmente indipendenti, quindi formano una base.
Ora il mio dubbio è: Nel caso in cui abbia una matrice NxM e dopo la riduzione a gradini il numero di elementi in riga è diverso da quelli in colonna
Ad esempio:
1 0 0 0 1 1 0
0 1 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 0 1
0 0 0 0 0 0 0
In questa matrice, le righe 1 2 3 (7 elementi) e le colonne 1 2 3 (4 elementi) sono linearmente indipendenti...quindi è diverso scegliere una base formata da righe o formata da colonne?
Cosa sbaglio? Vi sarei infinitamente grato se mi toglieste questo dubbio. Grazie in anticipo.
Dalla teoria so che di una matrice ridotta a gradini col metodo di Gauss, le sue righe non nulle o le colonne formate dai pivot, sono linearmente indipendenti, quindi formano una base.
Ora il mio dubbio è: Nel caso in cui abbia una matrice NxM e dopo la riduzione a gradini il numero di elementi in riga è diverso da quelli in colonna
Ad esempio:
1 0 0 0 1 1 0
0 1 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 0 1
0 0 0 0 0 0 0
In questa matrice, le righe 1 2 3 (7 elementi) e le colonne 1 2 3 (4 elementi) sono linearmente indipendenti...quindi è diverso scegliere una base formata da righe o formata da colonne?
Cosa sbaglio? Vi sarei infinitamente grato se mi toglieste questo dubbio. Grazie in anticipo.
Risposte
C'è un po' di confusione. Prima di affermare che
Naturalmente in questo caso è diverso prendere una "base" formata dalle righe o dalle colonne, prima di tutto perchè non hai una base in nessuno dei due casi.
Se tu consideri le prime tre colonne, che effettivamente sono linearmente indipendenti, hai tre vettori l.i. di uno spazio di dimensione 4: certamente non sono una base. Uno spazio quadridimensionale ha per definiziona una base formata da 4 vettori linearmente indipendenti, qualunque essi siano (tanto $ {( 1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)} $ quanto $ {( 1,1,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1),(2,0,0,1)} $ sono basi di $ RR^4 $).
Analogamente so consideri le prime tre righe hai tre vettori l.i. di uno spazio di dimensione 7, che certamente non ne costituiscono una base.
Insomma, il fatto che un insieme sia libero (costituito da vettori linearmente indipendenti) è condizione necessaria ma non sufficiente affinchè tale insieme sia base di uno spazio vettoriale: tale insieme deve anche generare lo spazio in questione. "Generare lo spazio" significa che qualunque vettore dello spazio può essere espresso come combinazione lineare dei vettori generatori.
Uno spazio di dimensione $ n $ puoi trovare un insieme di $ m $ vettori linearmente indipendenti, con $ m<=n $, o un insieme di $ r $ generatori, con $ r>=n $, ma una base è costituita da esattamente $ n $ vettori linearmente indipendenti (è ossia un insieme libero di generatori).
Dalla teoria so che di una matrice ridotta a gradini col metodo di Gaus, le sue righe non nulle o le colonne formate dai pivot, sono linearmente indipendenti, quindi formano una base.devi avere ben presente cosa sia la matrice che hai per le mani, che base stai cercando e quale sia la dimensione dello spazio in questione. La base di uno spazio vettoriale di dimensione $ n $ è dato da un qualunque insieme di $ n $ vettori linearmente indipendenti. Come è formulato l'esercizio? Ti viene data una matrice o dei vettori?
Naturalmente in questo caso è diverso prendere una "base" formata dalle righe o dalle colonne, prima di tutto perchè non hai una base in nessuno dei due casi.
Se tu consideri le prime tre colonne, che effettivamente sono linearmente indipendenti, hai tre vettori l.i. di uno spazio di dimensione 4: certamente non sono una base. Uno spazio quadridimensionale ha per definiziona una base formata da 4 vettori linearmente indipendenti, qualunque essi siano (tanto $ {( 1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)} $ quanto $ {( 1,1,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1),(2,0,0,1)} $ sono basi di $ RR^4 $).
Analogamente so consideri le prime tre righe hai tre vettori l.i. di uno spazio di dimensione 7, che certamente non ne costituiscono una base.
Insomma, il fatto che un insieme sia libero (costituito da vettori linearmente indipendenti) è condizione necessaria ma non sufficiente affinchè tale insieme sia base di uno spazio vettoriale: tale insieme deve anche generare lo spazio in questione. "Generare lo spazio" significa che qualunque vettore dello spazio può essere espresso come combinazione lineare dei vettori generatori.
Uno spazio di dimensione $ n $ puoi trovare un insieme di $ m $ vettori linearmente indipendenti, con $ m<=n $, o un insieme di $ r $ generatori, con $ r>=n $, ma una base è costituita da esattamente $ n $ vettori linearmente indipendenti (è ossia un insieme libero di generatori).
Innanzitutto grazie per la risposta. Mi rendo conto di avere le idee un po' confuse.
Prendo come esempio questo esercizio:
Determinare una base del sottospazio H = L((1,0,1,2), (-1,2,3,0) (3-2,-14), (-2,4,6,0) di R4
Vorrei sapere se sono equivalenti i due "metodi":
A) Scrivo i vettori come riga di una matrice e riduco la matrice a gradini.
Per trovarne una base, prendo le righe non nulle (altro dubbio: li prendo dalla matrice ridotta o da quella di partenza?)
B) Scrivo i vettori come colonna e riduco la matrice a gradini.
Le colonne formate dai pivot formano una base. (come sopra: li prendo dalla matrice ridotta o da quella di partenza?)
Prendo come esempio questo esercizio:
Determinare una base del sottospazio H = L((1,0,1,2), (-1,2,3,0) (3-2,-14), (-2,4,6,0) di R4
Vorrei sapere se sono equivalenti i due "metodi":
A) Scrivo i vettori come riga di una matrice e riduco la matrice a gradini.
Per trovarne una base, prendo le righe non nulle (altro dubbio: li prendo dalla matrice ridotta o da quella di partenza?)
B) Scrivo i vettori come colonna e riduco la matrice a gradini.
Le colonne formate dai pivot formano una base. (come sopra: li prendo dalla matrice ridotta o da quella di partenza?)
Devi prima di tutto capire che dimensione ha il sottospazio H. Essendo un sottospazio di $ RR^4 $ generato da 4 vettori può avere dimensione 4 (coincide con $ RR^4 $, i quattro vettori sono linearmente indipendenti), dimensione 3, 2 o 1, a seconda della lineare indipendenza dei vettori generatori. In termini pratici devi capire quanti dei vettori dati sono linearmente indipendenti tra loro, risolvere ossia il sistema $ alpha (1,0,1,2)+beta (-1,2,3,0)+gamma (3,-2,-1,4)+delta (-2,4,6,0)=0 $ ossia $ ( ( 1, -1 , 3 , -2 ),( 0 , 2 , -2 , 4 ),( 1 , 3 , -1 , 6 ),( 2 , 0 , 4 , 0 ) ) ( ( alpha ),( beta ),( gamma ),( delta ) ) =( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
Riducendola a scalini ti rendi conto che ci sono due vettori linearmente indipendenti: la dimensione di H è 2. A questo punto come base puoi prendere due dei 4 vettori che ti vengono dati all'inizio, badando che uno non sia multiplo dell'altro.
Riducendola a scalini ti rendi conto che ci sono due vettori linearmente indipendenti: la dimensione di H è 2. A questo punto come base puoi prendere due dei 4 vettori che ti vengono dati all'inizio, badando che uno non sia multiplo dell'altro.
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