Dubbio su forme quadratiche!
Sia dato $ q(x,y)=ax^2+by^2+2cxy$,la cosa che non riesco a capire è perchè la forma quadratica si può rappresentare con una matrice,che in questo caso è:
$((a,c),(c,b))$ Qual è il collegamento?Grazie mille in anticipo!!
$((a,c),(c,b))$ Qual è il collegamento?Grazie mille in anticipo!!
Risposte
è un po' quello che si fa per le coniche
alla generica conica
$gamma(x,y)=a_(11)x^2+2a_(12)xy+a_(22)y^2+2a_(13)x+2a_(23)y+a_(33)$
si associa la matrice simmetrica
$ A=( ( a_(11) , a_(12) , a_(13) ),( a_(21) , a_(22) , a_(23) ),( a_(31) , a_(32) , a_(33) ) ) $
alla generica quadratica
$q(x,y)=a_(11)x^2+2a_(12)xy+a_(22)y^2$
si associa la matrice simmetrica $ A=( ( a_(11) , a_(12) ),( a_(21) , a_(22) ) ) $
è utilizzata per classificare la quadratica
alla generica conica
$gamma(x,y)=a_(11)x^2+2a_(12)xy+a_(22)y^2+2a_(13)x+2a_(23)y+a_(33)$
si associa la matrice simmetrica
$ A=( ( a_(11) , a_(12) , a_(13) ),( a_(21) , a_(22) , a_(23) ),( a_(31) , a_(32) , a_(33) ) ) $
alla generica quadratica
$q(x,y)=a_(11)x^2+2a_(12)xy+a_(22)y^2$
si associa la matrice simmetrica $ A=( ( a_(11) , a_(12) ),( a_(21) , a_(22) ) ) $
è utilizzata per classificare la quadratica
Dunque è una "convenzione",non c'è una vera e propria dimostrazione dietro?!Grazie mille 
"GiuseppeRossi":
Dunque è una "convenzione",non c'è una vera e propria dimostrazione dietro?!Grazie mille
C'è, eccome, una dimostrazione, supportata da una sistemazione di tutti i concetti. La puoi trovare ad esempio sul Lang - Algebra Lineare, o se preferisci Sernesi - Geometria 1 e suppongo su qualsiasi libro che tratti in maniera decente l'Algebra Lineare. Comunque, se qualcuno non lo fa prima di me, appena sono su un dispositivo sul quale sia comodo scrivere provo a riportarti in breve la questione
...
le forme quadratiche quando ho fatto algebra lineare nella mia università sia il prof che l'esercitatore ce le hanno solamente accennate
Avevamo fatto le forme bilineari (bene) e cenni sulle forme quadratiche..
Comunque In particolare l'esercitatore ci aveva detto sulle forme quadratiche
la matrice A i suoi coefficienti
$ a_(ii) $ sono i coefficienti dei termini $ x_(i)^2 $
gli altri $ a_(ij)=a_(j i) $ metà del coefficiente del termine $ x_i x_j $
per esempio $ q(x_1,x_2)=2x_(1)^2-x_2^2+x_1 x_2 $
la sua matrice sarà $ A=( ( 2 , 1/2 ),( 1/2 , -1 ) ) $
un altro esempio (questo l'ho visto ad Analisi 2)
$ q(x_1, x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_1x_2+3x_1x_3-6x_2x_3 $
la sua matrice associata è \( A=\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 3/2 \\ 1/2 & 1 & -3 \\ 3/2 & -3 & 0 \end{pmatrix} \)
Altro esempio dell'esercitatore di Algebra Lineare
\( q(x,y,z)=5x^2+8y^2+5z^2+6xz-8 \)
la sua matrice associata è $ A=( ( 5 , 0 , 3 ),( 0 , 8 , 0 ),( 3 , 0 , 5 ) ) $
spero di essere stato chiaro
Avevamo fatto le forme bilineari (bene) e cenni sulle forme quadratiche..
Comunque In particolare l'esercitatore ci aveva detto sulle forme quadratiche
la matrice A i suoi coefficienti
$ a_(ii) $ sono i coefficienti dei termini $ x_(i)^2 $
gli altri $ a_(ij)=a_(j i) $ metà del coefficiente del termine $ x_i x_j $
per esempio $ q(x_1,x_2)=2x_(1)^2-x_2^2+x_1 x_2 $
la sua matrice sarà $ A=( ( 2 , 1/2 ),( 1/2 , -1 ) ) $
un altro esempio (questo l'ho visto ad Analisi 2)
$ q(x_1, x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_1x_2+3x_1x_3-6x_2x_3 $
la sua matrice associata è \( A=\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 3/2 \\ 1/2 & 1 & -3 \\ 3/2 & -3 & 0 \end{pmatrix} \)
Altro esempio dell'esercitatore di Algebra Lineare
\( q(x,y,z)=5x^2+8y^2+5z^2+6xz-8 \)
la sua matrice associata è $ A=( ( 5 , 0 , 3 ),( 0 , 8 , 0 ),( 3 , 0 , 5 ) ) $
spero di essere stato chiaro
Grazie mille a tutti,siete stati molto chiari!!
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