Dubbio su Esercizio Algebra
Ragazzi scusate a priori se è una sciocchezza ma non sono proprio sicuro di aver fatto bene 
Ecco l'esercizio:
In $ZZxZZ$ si consideri la seguente operazione: $(a,b)*(c,d)=(ac,bc+ad)$
Si verifichi che $(ZZ^2,*)$ è un monoide commutativo del quale si caratterizzino gli elementi invertibili e i rispettivi inversi.
Ho controllato che è un monoide commutativo, l'elemento neutro è $(1,0)$ ma ho qualche dubbio con gli inversi.
Io credo siano invertibili sono le coppie $(1,a)$ e che i loro inversi siano $(1,-a)$ . E' giusto o sbaglio qualcosa?
Grazie!
Ecco l'esercizio:
In $ZZxZZ$ si consideri la seguente operazione: $(a,b)*(c,d)=(ac,bc+ad)$
Si verifichi che $(ZZ^2,*)$ è un monoide commutativo del quale si caratterizzino gli elementi invertibili e i rispettivi inversi.
Ho controllato che è un monoide commutativo, l'elemento neutro è $(1,0)$ ma ho qualche dubbio con gli inversi.
Io credo siano invertibili sono le coppie $(1,a)$ e che i loro inversi siano $(1,-a)$ . E' giusto o sbaglio qualcosa?
Grazie!
Risposte
Mi sembra giusto, aggiungerei però che anche gli elementi della forma $(-1, a)$ sono invertibili 
"Gatto89":
Mi sembra giusto, aggiungerei però che anche gli elementi della forma $(-1, a)$ sono invertibili
Ma in questo caso i loro inversi sono $(-1, -a)$ giusto?
Esattamente
Grazie mille Gatto dell'aiuto 
Adesso c'è un altro esercizio che proprio non riesco a fare..
Sia $Delta = {X sube NN* : O/ != X $e X è un insieme finito $}$ e per ogni elemento $X = {x1,x2,...x_n}$ si ponga $sigma(X) = x1+x2+....+x_n$
data la relazione (che ho controllato ed è di equivalenza): $X R Y hArr sigma(X) =sigma(Y)$
Dimostrare che esistono ESATTAMENTE due classi di equivalenza $[X]_R$ dove risulta $[X]_R = {X}$
La prima X credo sia 1 ovvero l'insieme contenente 1 ha nella sua classe solo se stesso...ma la seconda?
Grazie mille davvero
Adesso c'è un altro esercizio che proprio non riesco a fare..
Sia $Delta = {X sube NN* : O/ != X $e X è un insieme finito $}$ e per ogni elemento $X = {x1,x2,...x_n}$ si ponga $sigma(X) = x1+x2+....+x_n$
data la relazione (che ho controllato ed è di equivalenza): $X R Y hArr sigma(X) =sigma(Y)$
Dimostrare che esistono ESATTAMENTE due classi di equivalenza $[X]_R$ dove risulta $[X]_R = {X}$
La prima X credo sia 1 ovvero l'insieme contenente 1 ha nella sua classe solo se stesso...ma la seconda?
Grazie mille davvero
Il secondo insieme dovrebbe essere $X = {2}$ (in quanto l'insieme $X = {1, 1}$ è in realtà l'insieme $X = {1}$ perchè gli elementi devono essere distinti).
Questo per l'esistenza... per l'unicità puoi dire che ogni classe di equivalenza di somma degli elementi $n >= 3$ (ovvero tutti gli altri) si può scrivere perlomeno in due modi, $X = {n}$ e $Y = {1, n-1}$ distinti tra loro.
Questo per l'esistenza... per l'unicità puoi dire che ogni classe di equivalenza di somma degli elementi $n >= 3$ (ovvero tutti gli altri) si può scrivere perlomeno in due modi, $X = {n}$ e $Y = {1, n-1}$ distinti tra loro.
"Gatto89":
Il secondo insieme dovrebbe essere $X = {2}$ (in quanto l'insieme $X = {1, 1}$ è in realtà l'insieme $X = {1}$ perchè gli elementi devono essere distinti).
Giusto non ci avevo proprio pensato, Grazie !
Di nulla
Umh...eccomi con un altro strano (per me) quesito...
Ma la coppia $(ab,0) in ZZx{0}$ è uguale ad $ab in ZZ$ ?
Praticamente ho un operazione $Omega : (a,0)Omega(b,0) = (ab,0) $ e devo dimostrare che $(ZZx{0},Omega)$ è isomorfo a $(ZZ,*)$.
quindi presa una $f: (ZZx{0},Omega)rarr (ZZ,*)$ vorrei far vedere che $f((a,0)Omega(b,0)) = f(a) * f(b) $
è giusto o così dimostro solo l'omomorfismo e non l'isomorfismo?
Grazie
Ma la coppia $(ab,0) in ZZx{0}$ è uguale ad $ab in ZZ$ ?
Praticamente ho un operazione $Omega : (a,0)Omega(b,0) = (ab,0) $ e devo dimostrare che $(ZZx{0},Omega)$ è isomorfo a $(ZZ,*)$.
quindi presa una $f: (ZZx{0},Omega)rarr (ZZ,*)$ vorrei far vedere che $f((a,0)Omega(b,0)) = f(a) * f(b) $
è giusto o così dimostro solo l'omomorfismo e non l'isomorfismo?
Grazie
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