Dubbio su endomorfismo con spazio vettoriale polinomiale

[JackPirri]

Ciao, devo trovare autovalori ed autovettori dell'endomorfismo $f:P2(x)->P2(x)$ che associa ad un polinomio p(x) il polinomio $p(1)+x *p(0)+x^2*p(2)$.

Non riesco a capire cosa intende per p(1), p(2) e quindi non costruirmi la matrice associata ad f.So soltanto che lo spazio vettoriale in questione ha dimensione uguale a 3 eche la base canonica è $(1,x,x^2)$.Grazie.

[Magma1]

Considerato che un polinomio in $RR[x]_(<=2)$ è del tipo:

$p(x)=a+bx+cx^2$

per avere $p(x_o)$, basta porre nella precedente $x=x_o$

[anto_zoolander]

In genere $P(x)=a+bx+cx^2$

Quindi ${(P(0)=a),(P(1)=a+b+c),(P(2)=a+2b+4c):}$

Quindi l’applicazione associa [size=95]$L(P(x))=(a+b+c)+ax+(a+2b+4c)x^2$[/size]

[JackPirri]

Grazie.E per quanto riguarda la matrice associata? Deduco che si tratta di una matrice di ordine 3 ma come me la costruisco cosniderando i polinomi?

[Magma1]

Dato che $dim(RR[x]_(<=2))=dim(RR^3)$, esiste un unico isomorfismo tra i due spazi vettoriali

$f: RR[x]_(<=2) -> RR^3$ tale che

$a+bx+cx^2 |-> ((a),(b),(c))$

in questo modo credo tu sappia ricavare la matrice rappresentativa; in caso contrario prova scriverne una bozza.

[JackPirri]

Spero non me ne vorrete se dovessi aver scritto delle cavolate.

Trovo la seguente matrice $A=((1,1,1),(1,0,0),(1,2,4))$

Suppongo nei rispettivi casi che prima a=1 b=0 c=0,poi a=0 b=1 c=0 e cosi via.

$f(a*1+0*x+0*x^2)=(1+x+x^2)$
$f(0*1+b*x+0*x^2)=(1+0*x+2*x^2)$
$f(0*1+0*x+c*x^2)=(1+4*x^2)$

Riscrivo questi tre polinomi secondo la base canonica e ho fatto.

[anto_zoolander]

Alla in tutto questo in $P(x)$ in valori $a,b,c$ sono determinati?

[JackPirri]

"anto_zoolander":Alla in tutto questo in $P(x)$ in valori $a,b,c$ sono determinati?

Non ho capito.

[anto_zoolander]

Niente era per dire una fesseria, comunque è corretto quello che hai scritto.

[JackPirri]

"anto_zoolander":Niente era per dire una fesseria, comunque è corretto quello che hai scritto.

Grazie.

[anto_zoolander]

Solo una cosa: hai scritto $a*1,...,c*1$ devi porli uguali a $1$, non moltiplicarli per $1$

[JackPirri]

"anto_zoolander":Solo una cosa: hai scritto $a*1,...,c*1$ devi porli uguali a $1$, non moltiplicarli per $1$

Non capisco.Non li ho moltiplicati per 1, eccetto $a$ ( perché ,appunto, considero la base canonica dello spazio vettoriale).

[anto_zoolander]

"JackPirri":$f(a*1+0*x+0*x^2)=(1+x+x^2)$

questa uguaglianza è sbagliata poichè $f(a+0x+0x^2)=a+ax+ax^2$

non è forse $f(1+0x+0x^2)=1+x+x^2$?

[JackPirri]

"anto_zoolander":[quote="JackPirri"]$f(a*1+0*x+0*x^2)=(1+x+x^2)$

questa uguaglianza è sbagliata poichè $f(a+0x+0x^2)=a+ax+ax^2$

non è forse $f(1+0x+0x^2)=1+x+x^2$? [/quote]
E' vero, ma se $a=1$ allora diventa $1*1=1$.

[JackPirri]

Ho trovato gli autovalori di f, che sono tre.Da ciò deduco che f è semplice.Esiste quindi una base di $P2$ formata da autovettori.I tre autospazi hanno tutti dimensione uguale ad 1.Una base di $Vk1$ è data dal vettore $(-1,-1,1)$.Una volta trovate le basi degli altri due autospazi, come le uso per ricavarmi una base di $P2$?
Considero $a=-1$,$b=-1$,$c=1$ e moltiplicando trovo uno dei tre polinomi che mi forma la base di$P2$?
Esempio: $-1*1-1*x+1*x^2$=$-1-x+x^2$(primo polinomio dei tre che formeranno la base di $P2$.