Dubbio su dimensione di una base
Salve, volevo chiedere dei chiarimenti sulla dimensione di una base.
Allora, se sono in $RR$$^n$ la dimensione di una sua base deve avere per forza n elementi?
Vi posto un esempio di esercizio che mi ha portato ad avere questo dubbio :
Sia $W$={ $((x),(y),(z))$ $in$ $RR$$^3$ / 2x+y-z = 0 }
A me viene che una base di questo spazio vettoriale è :
$\beta$ = span { $((1),(0),(2))$ , $((0),(1),(1))$ }
Adesso, questa base ha dim=2 , può essere una base per $RR$ $^3$ o lo è solo per W?
Il dubbio è aumentato quando si è trattato di dimostrare che $W$+$U$ = $RR$ $^3$ , dove U è uno spazio in cui una base ha dim=1 , mi è venuto da pensare allora che , avevo dimW=2 , allora il tutto era dimostrato.
Vi ringrazio dell'attenzione e scusate se in alcuni punti posso aver fatto confusione.
Allora, se sono in $RR$$^n$ la dimensione di una sua base deve avere per forza n elementi?
Vi posto un esempio di esercizio che mi ha portato ad avere questo dubbio :
Sia $W$={ $((x),(y),(z))$ $in$ $RR$$^3$ / 2x+y-z = 0 }
A me viene che una base di questo spazio vettoriale è :
$\beta$ = span { $((1),(0),(2))$ , $((0),(1),(1))$ }
Adesso, questa base ha dim=2 , può essere una base per $RR$ $^3$ o lo è solo per W?
Il dubbio è aumentato quando si è trattato di dimostrare che $W$+$U$ = $RR$ $^3$ , dove U è uno spazio in cui una base ha dim=1 , mi è venuto da pensare allora che , avevo dimW=2 , allora il tutto era dimostrato.
Vi ringrazio dell'attenzione e scusate se in alcuni punti posso aver fatto confusione.
Risposte
Dato uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$ (come per esempio $RR^n$) tutte le basi di $V$ hanno $n$ elementi.
Questo perchè la dimensione di $V$ è definita appunto come il numero di elementi di una sua base e si prova che, comunque scelte due basi, esse hanno lo stesso numero di elementi.
Quindi nel tuo caso la base di $W$ non può essere base anche di $RR^3$, perchè ogni base di $RR^3$ ha $3$ elementi!
Questo perchè la dimensione di $V$ è definita appunto come il numero di elementi di una sua base e si prova che, comunque scelte due basi, esse hanno lo stesso numero di elementi.
Quindi nel tuo caso la base di $W$ non può essere base anche di $RR^3$, perchè ogni base di $RR^3$ ha $3$ elementi!
Quindi la base che ho trovato è solo una base del sottospazio vettoriale W.
Ti ringrazio!
Ti ringrazio!
Prego 
scusate ma non dovrebbe essere che una base di uno spazio di dimensione $n$ abbia al più $n$ vettori?
per una caratterizzazione della base si ha che l'insieme $v_1...v_n$ è base se e solo se $EE|(a_1,...,a_n) t.c.$ $ v=\sum_{i=1}^n a_iv_i$ questo perciò equivale a chiedere semplicemente la lineare indipendenza di vettori...
ora, poichè si dimostra che se $1<=m<=n$ e $v_1....v_n$ sono $n$ vettori linearmente indipendenti allora anche $v_1...v_m$ sono linearmente indipendenti, anche questi ultimi dovrebbero essere una base, anche se in numero inferiore ad $n$ o no?
Dove stanno gli errori nel mio ragionamento?
per una caratterizzazione della base si ha che l'insieme $v_1...v_n$ è base se e solo se $EE|(a_1,...,a_n) t.c.$ $ v=\sum_{i=1}^n a_iv_i$ questo perciò equivale a chiedere semplicemente la lineare indipendenza di vettori...
ora, poichè si dimostra che se $1<=m<=n$ e $v_1....v_n$ sono $n$ vettori linearmente indipendenti allora anche $v_1...v_m$ sono linearmente indipendenti, anche questi ultimi dovrebbero essere una base, anche se in numero inferiore ad $n$ o no?
Dove stanno gli errori nel mio ragionamento?
"mistake89":
per una caratterizzazione della base si ha che l'insieme $v_1...v_n$ è base se e solo se $EE|(a_1,...,a_n) t.c.$ $ v=\sum_{i=1}^n a_iv_i$ questo perciò equivale a chiedere semplicemente la lineare indipendenza di vettori...
Una base di uno spazio vettoriale $V$ è, per definizione, un insieme di vettori linearmente indipendenti e che generano l'intero spazio $V$.
E' vera la caratterizzazione delle basi a cui ti riferisci (anche se hai dimenticato un pezzo: Per ogni $v\in V$ esiste un'unica $n$-upla $(a_1,...,a_n)$....) ma non è vero che quella proprietà equivale alla lineare indipendenza!
perchè non è vera?
se esistessoro due vettori proporzionali allora la $n$-upla non sarebbe unica... quindi dire che la $n$-upla è unica equivale a dire che i vettori sono tutti indipendenti, o no?
se esistessoro due vettori proporzionali allora la $n$-upla non sarebbe unica... quindi dire che la $n$-upla è unica equivale a dire che i vettori sono tutti indipendenti, o no?
No, mi spiace.
Mettiamoci in $RR^3$, tanto per fare un esempio. Una base è la base canonica $e_1,e_2,e_3$ ($3$ vettori).
Tu affermi che se per esempio scegli un sottoinsieme, per esempio $e_1,e_2$ allora questi due vettori sono linearmente indipendenti. E questo è vero.
Ma NON formano una base semplicemente perchè non generano l'intero spazio $RR^3$. E infatti non vale la prorietà a cui accennavamo prima cioè
(*) Per ogni $v\in RR^3$ esiste un'unica coppia $(a,b)$ tale che $v=ae_1+be_2$
Infatti $e_3$ non può essere scritto come combinazione lineare di $e_1,e_2$!
Ripeto $e_1,e_2$ sono sì linearmente indipendenti, ma non generano l'intero spazio, quindi non formano una base!
Se c'è qualcosa che non va, fammi sapere...
Mettiamoci in $RR^3$, tanto per fare un esempio. Una base è la base canonica $e_1,e_2,e_3$ ($3$ vettori).
Tu affermi che se per esempio scegli un sottoinsieme, per esempio $e_1,e_2$ allora questi due vettori sono linearmente indipendenti. E questo è vero.
Ma NON formano una base semplicemente perchè non generano l'intero spazio $RR^3$. E infatti non vale la prorietà a cui accennavamo prima cioè
(*) Per ogni $v\in RR^3$ esiste un'unica coppia $(a,b)$ tale che $v=ae_1+be_2$
Infatti $e_3$ non può essere scritto come combinazione lineare di $e_1,e_2$!
Ripeto $e_1,e_2$ sono sì linearmente indipendenti, ma non generano l'intero spazio, quindi non formano una base!
Se c'è qualcosa che non va, fammi sapere...
già, mostrata così la cosa è chiarissima e ti ringrazio tantissimo!
in conclusione possiamo dire che uno spazio $K^n$ deve avere obbligatoriamente $n$-vettori linearmente indipendenti per essere una base no?
quindi la caratterizzazione afferma che verificata l'indipendenza degli $n$ vettori di $K^n$ possiamo concludere che essi sono una base;
quindi $n$ vettori linearmente indipendenti comunque scelti generano $K^n$
è questo il succo della caratterizzazione?
Grazie ancora molto mi hai fuguato un grosso dubbio!
in conclusione possiamo dire che uno spazio $K^n$ deve avere obbligatoriamente $n$-vettori linearmente indipendenti per essere una base no?
quindi la caratterizzazione afferma che verificata l'indipendenza degli $n$ vettori di $K^n$ possiamo concludere che essi sono una base;
quindi $n$ vettori linearmente indipendenti comunque scelti generano $K^n$
è questo il succo della caratterizzazione?
Grazie ancora molto mi hai fuguato un grosso dubbio!
In soldoni:
Se sai che uno spazio ha dimensione $n$, allora tutte le basi di tale spazio avranno $n$ vettori.
E se hai $n$ vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale $n$-dimensionale, essi formano una base.
Ma se hai $m$ vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale $n$-dimensionale (con $m
Ciao!
Se sai che uno spazio ha dimensione $n$, allora tutte le basi di tale spazio avranno $n$ vettori.
E se hai $n$ vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale $n$-dimensionale, essi formano una base.
Ma se hai $m$ vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale $n$-dimensionale (con $m
Ciao!
è come avevo capito io alla fine... Grazie mille sei stato chiarissimo!
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