Dubbio su differenziale funzione (domanda teorica)
Ciao a tutti e buon 2020. Il titolo non è molto dirimente, me ne rendo conto, provo a illustrare il dubbio.
Sono alle prese con lo studio di meccanica Hamiltoniana e mi sono incastrato su un concetto. Mi pareva di aver capito il concetto di funzionale lineare (inteso con iconcetti di spazio duale) associata a una forma bilineare (per intenderci: https://it.wikipedia.org/wiki/Forma_bil ... azio_duale )
Tuttavia nei miei appunti ho scritto:
Il che mi suona strano, da quanto avevo capito ogni forma bilineare in effetti riescoa vedere che crea una mappa lineare (comeda wiki e da appunti precedenti nonché libro), ma la frase sibillina che ho scirtto non riesco bene a interpretarla.
Qualcuno saprebbe dirmi cosa intendesse il professore. E' da un po' che ci ragiono sopra
Sono alle prese con lo studio di meccanica Hamiltoniana e mi sono incastrato su un concetto. Mi pareva di aver capito il concetto di funzionale lineare (inteso con iconcetti di spazio duale) associata a una forma bilineare (per intenderci: https://it.wikipedia.org/wiki/Forma_bil ... azio_duale )
Tuttavia nei miei appunti ho scritto:
qualunque forma bilineare, ossia qualunque campo tensoriale di tipo (0, 2), permette di associare un campo vettoriale al differenziale di una funzione: se la forma bilineare è non degenere, questa corrispondenza è anche iniettiva.
Il che mi suona strano, da quanto avevo capito ogni forma bilineare in effetti riescoa vedere che crea una mappa lineare (comeda wiki e da appunti precedenti nonché libro), ma la frase sibillina che ho scirtto non riesco bene a interpretarla.
Qualcuno saprebbe dirmi cosa intendesse il professore. E' da un po' che ci ragiono sopra
Risposte
Si, non c'entra nulla il differenziale di una funzione. Se hai una forma bilineare non degenere \(g_{\alpha \beta}\), allora ad ogni vettore \(x^\alpha\) puoi associare il covettore \(g_{\alpha \beta}x^\beta\). È una cosa algebrica di base che hai sicuramente visto, in guisa diversa, in algebra lineare.
Secondo me intende la cosa seguente (faccio un discorso "rapido" per cui spero sia chiaro): indichiamo con $g$ la forma bilineare e con $e_i$ la base, per cui abbiamo pure le componenti della forma definita come $g_{ij}=g(e_i,e_j)$. Ora, consideriamo un vettore fissato $v=v^i e_i$: per ogni vettore $X$ possiamo definire la forma $\omega_v(X)=g(v,X)$. Tale forma (che risulta una forma differenziale) ha componenti $\omega_i$ (intendendo $\omega_v=\omega_i e^i$, con $e^i$ base duale di $e_i$) date da
$$\omega_j=\omega_v(e_j)=g(v,e_j)=g(v^i e_i, e_j)=v^i g_{ij}$$
Il discorso del differenziale si lega al fatto che, utilizzando le notazioni della geometria differenziale/fisica matematica per le quali, se $\{x^i\}$ è un sistema di coordinate locali, allora $\{e_i=\frac{\partial}{\partial x^i}\}$ è un riferimento locale e $dx^i$ (i differenziali) il suo duale.
Ma magari ho detto una cazzata perché le tagliatelle (dissonance sa) e il vino (soprattutto) ancora sono in circolo.
$$\omega_j=\omega_v(e_j)=g(v,e_j)=g(v^i e_i, e_j)=v^i g_{ij}$$
Il discorso del differenziale si lega al fatto che, utilizzando le notazioni della geometria differenziale/fisica matematica per le quali, se $\{x^i\}$ è un sistema di coordinate locali, allora $\{e_i=\frac{\partial}{\partial x^i}\}$ è un riferimento locale e $dx^i$ (i differenziali) il suo duale.
Ma magari ho detto una cazzata perché le tagliatelle (dissonance sa) e il vino (soprattutto) ancora sono in circolo.
Mi sembra corretto, è proprio quello che avrei voluto dire io sopra, ma mi sono espresso piuttosto male e di fretta. Buona digestione ciampax!
Grazie per le risposte!
Fin qua tutto regolare: associo al concetto di forma bilineare il concetto di forma differenziale (che infatti vive nel duale dello spazio vettoriale ove abitano i vettori tangenti)
Questo non ho ben capito invece come applicarlo a quanto sopra, anche perché lui dice che associo: differenziale-->campo vettoriale.
Grazie se avrai voglia di chiarire
PS: purtroppo non so perché ma nel piano didattico abbiamo prima fisica matematica di geometria differenziale (esame a scelta del 3 anno), sinceramente lo trovo un po' stupido dato che ho dovuto studiarmela da solo e velocemente tra una lezione e l'altra per capire meglio i concetti. Quindi scusa ma non sono super avvezzo e probabilmente mi perdo in cavolate.
"ciampax":
Secondo me intende la cosa seguente (faccio un discorso "rapido" per cui spero sia chiaro): indichiamo con $g$ la forma bilineare e con $e_i$ la base, per cui abbiamo pure le componenti della forma definita come $g_{ij}=g(e_i,e_j)$. Ora, consideriamo un vettore fissato $v=v^i e_i$: per ogni vettore $X$ possiamo definire la forma $\omega_v(X)=g(v,X)$. Tale forma (che risulta una forma differenziale) ha componenti $\omega_i$ (intendendo $\omega_v=\omega_i e^i$, con $e^i$ base duale di $e_i$) date da
$$\omega_j=\omega_v(e_j)=g(v,e_j)=g(v^i e_i, e_j)=v^i g_{ij}$$
Fin qua tutto regolare: associo al concetto di forma bilineare il concetto di forma differenziale (che infatti vive nel duale dello spazio vettoriale ove abitano i vettori tangenti)
Il discorso del differenziale si lega al fatto che, utilizzando le notazioni della geometria differenziale/fisica matematica per le quali, se $\{x^i\}$ è un sistema di coordinate locali, allora $\{e_i=\frac{\partial}{\partial x^i}\}$ è un riferimento locale e $dx^i$ (i differenziali) il suo duale.
Questo non ho ben capito invece come applicarlo a quanto sopra, anche perché lui dice che associo: differenziale-->campo vettoriale.
Grazie se avrai voglia di chiarire
PS: purtroppo non so perché ma nel piano didattico abbiamo prima fisica matematica di geometria differenziale (esame a scelta del 3 anno), sinceramente lo trovo un po' stupido dato che ho dovuto studiarmela da solo e velocemente tra una lezione e l'altra per capire meglio i concetti. Quindi scusa ma non sono super avvezzo e probabilmente mi perdo in cavolate.
Dunque, cerco di farti un discorso semplice perché se non non ne usciamo più. In generale, su un aperto di $R^n$, diciamo $U$, dotato di coordinate $\{x^i\ | \ i=1,\ldots,n\}$, è possibile costruire (in modo "naturale") un riferimento per lo spazio tangente $T(R^n)$ utilizzando le "derivate parziali" come base, e quindi il sistema di $n$-vettori linearmente indipendenti $\{\frac{\partial}{\partial x^i}\ |\ i=1,\ldots,n\}$ (si dovrebbe fare una discussione sul perché sti cosi abbiano senso su tutto l'aperto e non solo in un punto, ma è una roba lunga per cui ti prego di credermi sulla parola). Ovviamente è lecito costruire il duale dello spazio tangente, detto spazio cotangente $T^\ast(R^n)$ la cui base risulta, per dualità, la seguente $\{dx^i\ |\ i=1,\ldots,n\}$. Perché questo? Perché in generale il concetto di differenziale di una funzione $f:U\rightarrow R^n$ (diciamo di classe almeno $C^1$ per evitare problemi) viene definito come una applicazione lineare al modo seguente
$$df: T(U)\rightarrow T(R^n),\qquad\qquad df(v)=v(f)$$
dove essendo $v=v^i\frac{\partial}{\partial x^i}$ un vettore nel senso precedente, si ha per il differenziale il significato
$$df(v)=\left(v^i\frac{\partial}{\partial x^i}\right)f=v^i\frac{\partial f}{\partial x^i}$$
che rappresenta, in pratica, la derivata nella direzione $v$ della funzione $f$.
Allora risulta immediato porre $df=\omega_i dx^i$ e si ha
$$\omega_i=df\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)=\omega_j dx^j\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)=\omega_j \left(\frac{\partial x^j}{\partial x^i}\right)=\omega_j\delta_i^j$$
dove $\delta_i^j$ è il delta di Kronecher.
Da qui puoi vedere il senso "differenziale" della cosa e come viene fatta l'associazione al campo vettoriale: l'applicazione di "sollevamento o abbassamento di indici" che ti ho mostrato prima attraverso la forma bilineare, altro non è che un modo di costruire, a partire dalle componenti della forma e del campo particolare fissato, una nuova forma o, in alternativa, un campo, che rappresenti tale trasformazione e che ha un senso di derivata per come vengono definiti i concetti che ti ho appena illustrato. L'iniettività, per altro, è assicurata dalla non degenericità della forma bilineare: infatti, se prendi ciò che ho scritto nel precedente post, dalla relazione $\omega_i=A^j g_{ij}$ segue, esistendo la matrice inversa della forma che indico con $[g^{ij}]$,
$$\omega_i g^{ik}=A^j g_{ij} g^{ik}=A^j\delta_j^k=A^k$$
Spero che la cosa sia sufficientemente chiara. In ogni caso, se cerchi in rete un po' di appunti su forme multilineari, tensori e calcolo differenziale esterno dovresti trovare una spiegazione maggiormente dettagliata.
NOTA: ho usato dappertutto la convenzione di Einstein per la somma: scrivendo un indice in basso e uno in alto ripetuto, intendo la somma su tale indice, per cui ad esempio $x_{ij} y^{ik}=\sum_{i=1}^n x_{ij} y^{ik}$
$$df: T(U)\rightarrow T(R^n),\qquad\qquad df(v)=v(f)$$
dove essendo $v=v^i\frac{\partial}{\partial x^i}$ un vettore nel senso precedente, si ha per il differenziale il significato
$$df(v)=\left(v^i\frac{\partial}{\partial x^i}\right)f=v^i\frac{\partial f}{\partial x^i}$$
che rappresenta, in pratica, la derivata nella direzione $v$ della funzione $f$.
Allora risulta immediato porre $df=\omega_i dx^i$ e si ha
$$\omega_i=df\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)=\omega_j dx^j\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)=\omega_j \left(\frac{\partial x^j}{\partial x^i}\right)=\omega_j\delta_i^j$$
dove $\delta_i^j$ è il delta di Kronecher.
Da qui puoi vedere il senso "differenziale" della cosa e come viene fatta l'associazione al campo vettoriale: l'applicazione di "sollevamento o abbassamento di indici" che ti ho mostrato prima attraverso la forma bilineare, altro non è che un modo di costruire, a partire dalle componenti della forma e del campo particolare fissato, una nuova forma o, in alternativa, un campo, che rappresenti tale trasformazione e che ha un senso di derivata per come vengono definiti i concetti che ti ho appena illustrato. L'iniettività, per altro, è assicurata dalla non degenericità della forma bilineare: infatti, se prendi ciò che ho scritto nel precedente post, dalla relazione $\omega_i=A^j g_{ij}$ segue, esistendo la matrice inversa della forma che indico con $[g^{ij}]$,
$$\omega_i g^{ik}=A^j g_{ij} g^{ik}=A^j\delta_j^k=A^k$$
Spero che la cosa sia sufficientemente chiara. In ogni caso, se cerchi in rete un po' di appunti su forme multilineari, tensori e calcolo differenziale esterno dovresti trovare una spiegazione maggiormente dettagliata.
NOTA: ho usato dappertutto la convenzione di Einstein per la somma: scrivendo un indice in basso e uno in alto ripetuto, intendo la somma su tale indice, per cui ad esempio $x_{ij} y^{ik}=\sum_{i=1}^n x_{ij} y^{ik}$
Ciampax, quel libro di Itskov che mi consigliasti proprio tu n anni fa è un buon riferimento qui.
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