Dubbio su come vedere che una matrice è diagonalizzabile
Ciao a tutti, ho un dubbio sulla risoluzione di un esercizio.
Vi posto il testo e come l'ho risolto io.
Dire se la seguente matrice è diagonalizzabile. $((1,0,0),(0,t,t-2),(0,0,t))$
Allora io so che una matrice è diagonalizzabile se la molteplicità algebrica e geometrica di ogni autovalore sono coincidenti.
Detto questo mi sono trovato gli autovalori della matrice che sono $\lambda_1=1$ con $m_a=1$ e $\lambda_2=t$ con $m_a(t)=2$. La somma delle molteplicità algebriche è $3$ e corrisponde con lo spazio di partenza. Adesso verifico che la somma delle molteplicità geometriche sia uguale alla somma delle molteplicità algebriche, cioè $3$.
-Trovo gli autovettori corrispondenti all'autovalore $\lambda=1$
$((0,0,0),(0,t-1,t-2),(0,0,t-1))((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$ risolvo il sistema e trovo che gli autovalori relativi a $\lambda=1$ sono del tipo $(1,0,0)$ quindi hanno $m_g=1$ che corrisponde alla $m_a$
-Trovo gli autovettori corrispondenti all'autovalore $\lambda=t$
$((1-t,0,0),(0,0,t-2),(0,0,0))((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$ risolvo il sistema e trovo che gli autovettori relativi a $\lambda=t$ sono del tipo $(0,1,0)$ quindi hanno $m_g=1$ mentre la molteplicità algebriva era $m_a=2$.
Quindi ho che la somma delle molteplicità algebriche è diversa dalla somma delle molteplicità geometriche e quindi la matrice non è diagonalizzabile.
Ho fatto bene o ho detto qualche castroneria ??
Grazie a tutti per l'aiuto.
Vi posto il testo e come l'ho risolto io.
Dire se la seguente matrice è diagonalizzabile. $((1,0,0),(0,t,t-2),(0,0,t))$
Allora io so che una matrice è diagonalizzabile se la molteplicità algebrica e geometrica di ogni autovalore sono coincidenti.
Detto questo mi sono trovato gli autovalori della matrice che sono $\lambda_1=1$ con $m_a=1$ e $\lambda_2=t$ con $m_a(t)=2$. La somma delle molteplicità algebriche è $3$ e corrisponde con lo spazio di partenza. Adesso verifico che la somma delle molteplicità geometriche sia uguale alla somma delle molteplicità algebriche, cioè $3$.
-Trovo gli autovettori corrispondenti all'autovalore $\lambda=1$
$((0,0,0),(0,t-1,t-2),(0,0,t-1))((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$ risolvo il sistema e trovo che gli autovalori relativi a $\lambda=1$ sono del tipo $(1,0,0)$ quindi hanno $m_g=1$ che corrisponde alla $m_a$
-Trovo gli autovettori corrispondenti all'autovalore $\lambda=t$
$((1-t,0,0),(0,0,t-2),(0,0,0))((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$ risolvo il sistema e trovo che gli autovettori relativi a $\lambda=t$ sono del tipo $(0,1,0)$ quindi hanno $m_g=1$ mentre la molteplicità algebriva era $m_a=2$.
Quindi ho che la somma delle molteplicità algebriche è diversa dalla somma delle molteplicità geometriche e quindi la matrice non è diagonalizzabile.
Ho fatto bene o ho detto qualche castroneria ??
Grazie a tutti per l'aiuto.
Risposte
"antonio12":
Ciao a tutti, ho un dubbio sulla risoluzione di un esercizio.
Vi posto il testo e come l'ho risolto io.
Dire se la seguente matrice è diagonalizzabile. $((1,0,0),(0,t,t-2),(0,0,t))$
Allora io so che una matrice è diagonalizzabile se la molteplicità algebrica e geometrica di ogni autovalore sono coincidenti.
Detto questo mi sono trovato gli autovalori della matrice che sono $\lambda_1=1$ con $m_a=1$ e $\lambda_2=t$ con $m_a(t)=2$. La somma delle molteplicità algebriche è $3$ e corrisponde con lo spazio di partenza. Adesso verifico che la somma delle molteplicità geometriche sia uguale alla somma delle molteplicità algebriche, cioè $3$.
-Trovo gli autovettori corrispondenti all'autovalore $\lambda=1$
$((0,0,0),(0,t-1,t-2),(0,0,t-1))((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$ risolvo il sistema e trovo che gli autovalori relativi a $\lambda=1$ sono del tipo $(1,0,0)$ quindi hanno $m_g=1$ che corrisponde alla $m_a$
-Trovo gli autovettori corrispondenti all'autovalore $\lambda=t$
$((1-t,0,0),(0,0,t-2),(0,0,0))((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$ risolvo il sistema e trovo che gli autovettori relativi a $\lambda=t$ sono del tipo $(0,1,0)$
C'è anche $(2-t,0,1-t)$.
Poi devi trattare a parte il caso $t=1$
quindi hanno $m_g=1$ mentre la molteplicità algebriva era $m_a=2$.
Quindi ho che la somma delle molteplicità algebriche è diversa dalla somma delle molteplicità geometriche e quindi la matrice non è diagonalizzabile.
Ho fatto bene o ho detto qualche castroneria ??
Grazie a tutti per l'aiuto.
"Quinzio":
[quote="antonio12"]Ciao a tutti, ho un dubbio sulla risoluzione di un esercizio.
Vi posto il testo e come l'ho risolto io.
Dire se la seguente matrice è diagonalizzabile. $((1,0,0),(0,t,t-2),(0,0,t))$
Allora io so che una matrice è diagonalizzabile se la molteplicità algebrica e geometrica di ogni autovalore sono coincidenti.
Detto questo mi sono trovato gli autovalori della matrice che sono $\lambda_1=1$ con $m_a=1$ e $\lambda_2=t$ con $m_a(t)=2$. La somma delle molteplicità algebriche è $3$ e corrisponde con lo spazio di partenza. Adesso verifico che la somma delle molteplicità geometriche sia uguale alla somma delle molteplicità algebriche, cioè $3$.
-Trovo gli autovettori corrispondenti all'autovalore $\lambda=1$
$((0,0,0),(0,t-1,t-2),(0,0,t-1))((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$ risolvo il sistema e trovo che gli autovalori relativi a $\lambda=1$ sono del tipo $(1,0,0)$ quindi hanno $m_g=1$ che corrisponde alla $m_a$
-Trovo gli autovettori corrispondenti all'autovalore $\lambda=t$
$((1-t,0,0),(0,0,t-2),(0,0,0))((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$ risolvo il sistema e trovo che gli autovettori relativi a $\lambda=t$ sono del tipo $(0,1,0)$
C'è anche $(2-t,0,1-t)$.
Poi devi trattare a parte il caso $t=1$
[/quote]
quindi hanno $m_g=1$ mentre la molteplicità algebriva era $m_a=2$.
Quindi ho che la somma delle molteplicità algebriche è diversa dalla somma delle molteplicità geometriche e quindi la matrice non è diagonalizzabile.
Ho fatto bene o ho detto qualche castroneria ??
Grazie a tutti per l'aiuto.
Scusami ma non capisco cosa è $(2-t,0,1-t)$? come è stato trovato?
e il caso $t=1$ cosa è? non ho gia trattato i due autovalori?
Puoi spiegarmi per favore?
Grazie
nessuno sa aiutarmi?
ti do una dritta sulle molteplicità geometriche.
La teoria insegna che $1<=mg(x)<=ma(x)<=n$,questo vale per ogni autovalore e quindi se ma=1 allora automaticamente anche mg =1
bisogna quindi solo esaminare il caso ma=2
La teoria insegna che $1<=mg(x)<=ma(x)<=n$,questo vale per ogni autovalore e quindi se ma=1 allora automaticamente anche mg =1
bisogna quindi solo esaminare il caso ma=2
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