Dubbio su basi e spazi vettoriali
Ciao a tutti, non riesco a capire bene un passaggio del libro di algebra che sto utilizzando, nello specifico "algebra lineare per tutti" di Lorenzo Robbiano.
Lui dice: poniamo di avere la base canonica $ E=(e1, e2,..,en) $ , un vettore $ u=(a1,a2,...,an) $ e le coordinate del vettore rispetto a E: $ u=a1e1+a2e2+...+an en $ .
Supponiamo anche di avere una r-upla $ F=(f1,f2,...,fn) $ di vettori in $ K^2 $, possiamo scrivere le loro coordinate come
$ F=E \cdot M_F^E $ (fin qui tutto ok, credo...)
ora però non capisco perchè dice: esiste una matrice che chiamiamo $ M_E^F $ tale che: $ E=F \cdot M_E^F $
Non riesco a capire quale sia questa matrice, se dovessimo scriverla come sarebbe fatta? La prima cosa che ho pensato è stata la matrice che rappresenta la base canonica ma è impossibile, o forse ho capito male io il ragionamento.
In sostanza la mia domanda è: qual'è la matrice $ M_E^F $ ?
Per chi avesse il libro il ragionamento si trova a pagina 98.
Inoltre vi chiedo anche un parere sul libro di Robbiano, voi come lo giudicate?
Lui dice: poniamo di avere la base canonica $ E=(e1, e2,..,en) $ , un vettore $ u=(a1,a2,...,an) $ e le coordinate del vettore rispetto a E: $ u=a1e1+a2e2+...+an en $ .
Supponiamo anche di avere una r-upla $ F=(f1,f2,...,fn) $ di vettori in $ K^2 $, possiamo scrivere le loro coordinate come
$ F=E \cdot M_F^E $ (fin qui tutto ok, credo...)
ora però non capisco perchè dice: esiste una matrice che chiamiamo $ M_E^F $ tale che: $ E=F \cdot M_E^F $
Non riesco a capire quale sia questa matrice, se dovessimo scriverla come sarebbe fatta? La prima cosa che ho pensato è stata la matrice che rappresenta la base canonica ma è impossibile, o forse ho capito male io il ragionamento.
In sostanza la mia domanda è: qual'è la matrice $ M_E^F $ ?
Per chi avesse il libro il ragionamento si trova a pagina 98.
Inoltre vi chiedo anche un parere sul libro di Robbiano, voi come lo giudicate?
Risposte
Ciao.
Non ho capito in verità cosa tu stia chiedendo, forse perché hai fatto un po' di confusione con le [formule][/formule]: ad esempio, se \( E \) è una base, che intendi con \( E\cdot M_F^E \)? Cerca di chiarirti meglio.
Non ho capito in verità cosa tu stia chiedendo, forse perché hai fatto un po' di confusione con le [formule][/formule]: ad esempio, se \( E \) è una base, che intendi con \( E\cdot M_F^E \)? Cerca di chiarirti meglio.
"marco2132k":
Ciao.
Non ho capito in verità cosa tu stia chiedendo, forse perché hai fatto un po' di confusione con le [formule][/formule]: ad esempio, se \( E \) è una base, che intendi con \( E\cdot M_F^E \), Cerca di chiarirti meglio.
Ciao e grazie per la risposta. Il problema è anche questo, ovvero che l'autore utilizza una simbologia che fatico a comprendere, senza dare troppe spiegazioni.
Allora cerco di chiarirmi:
$ E $ è la base canonica (1,0,...,0),(0,1,...0),...,(0,0,...,1) = $ (e_1,e_2,...,e_n) $
$ M_F^E $ sarebbe il vettore $ F=(f_1,f_2,...,f_n)= (a_1, a_2,...,a_n) $ trasposto. Moltiplicando la base canonica per questo vettore trasposto (che in pratica è quindi un vettore colonna contenente unicamente delle coordinate) si ottiene nuovamente F non trasposto.
Nell'esempio che fa nel piano è tutto chiaro, ma nello spazio mi sfugge un passaggio.
Ti faccio l'esempio su due dimensioni relativamente al cambiamento di coordinate:
in tal caso l'equivalente della base canonica è $ F(u_1,u_2) $ ovvero i due vettori unitari.
Dato un vettore v di coordinate $ (a_1,a_2) $ rispetto al sistema i cui vettori unitari sono $ (u_1,u_2) $ si può scrivere $ v=a_1u_1+a_2u_2 $
L'idea è interpretare quest'ultimo vettore come il prodotto righe per colonne di $ F $ con $ ( (a_1), (a_2) ) $ in tal caso $ ( (a_1), (a_2) ) $ messi in colonna vengono chiamati $ M_v^F $ che da quanto ho capito sarebbero le coordinate di di v rispetto al sistema i cui vettori unitari costituiscono $ F $ , l'equivalente di $ M_F^E $ in più dimensioni.
Spero di aver reso l'idea. Tornando al caso con più dimensioni l'autore a questo punto dice (testuali parole):
"Dire che $F$ è una base significa dire che ogni vettore di $ K^n $ si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori di $F$. In particolare si scrivono in modo unico i vettori di $E$. Quindi esiste una matrice, che NATURALMENTE
chiamiamo $ M_E^F $ tale che:$ E= F \cdot M_E^F $ "
Dopo fa l'esempio con una s-upla di vettori, ovvero se $ S=(v_1,v_2,...v_s) $ è la s-upla si ha:
$ S= E\cdot M_S^E $ e $ S= F\cdot M_S^F $
Scusa se sono stata poco chiara, le formule sono così come le leggi, esattamente uguali anche sul libro
Allora. Suppongo che lo spazio vettoriale a cui ci stiamo riferendo sia un qualche \( \mathbb{K}^n \), dove \( \mathbb{K} \) è un campo. Fai \( \mathbb{R}^n \) se vuoi. Quella roba che l'autore indica con \( E \) è la base di matrici \( {^t(1,0,\dots,0)} \), \( {^t(0,1,\dots,0)} \), e così via. Un insieme si indica con le parentesi graffe.
Credo di aver capito che invece \( f \) è un punto di \( \mathbb{K}^n \), di coordinate \( f_1 \), \( f_2 \), fino ad \( f_n \).
Ho idea che, secondo lui, "moltiplicare la base canonica per questo vettore trasposto" sia da intendersi "vedendo" \( E \) ed \( f \) come due "matrici"[nota]Come te ne sarai già accorta, la dicitura matrice è generalmente usata per indicare una "tabella di numeri (di \( \mathbb{K} \))"; va bene per \( f \), male per \( e \).[/nota] colonna; allora
\[
E{M_F^E}=E{f^t}=\begin{pmatrix}e_1\\ \vdots\\e_n \end{pmatrix}{\begin{pmatrix}f_1\\ \vdots\\f_n \end{pmatrix}}^t=\sum_{i=1}^n f_ie_i
\]
Credo che abbia invertito i simboli \( F \) ed \( E \) a 'sto punto: il primo è una base, il secondo un vettore qualunque.
Il "NATURALMENTE" credo si riferisca al fatto che il tuo autore ha deciso di usare una sorta di "moltiplicazione formale", nel senso che viene fatta manipolando vettori (della base) e componenti (del vettore) come se fossero tutti numeri di \( \mathbb{K} \).
Credo di aver capito che invece \( f \) è un punto di \( \mathbb{K}^n \), di coordinate \( f_1 \), \( f_2 \), fino ad \( f_n \).
Ho idea che, secondo lui, "moltiplicare la base canonica per questo vettore trasposto" sia da intendersi "vedendo" \( E \) ed \( f \) come due "matrici"[nota]Come te ne sarai già accorta, la dicitura matrice è generalmente usata per indicare una "tabella di numeri (di \( \mathbb{K} \))"; va bene per \( f \), male per \( e \).[/nota] colonna; allora
\[
E{M_F^E}=E{f^t}=\begin{pmatrix}e_1\\ \vdots\\e_n \end{pmatrix}{\begin{pmatrix}f_1\\ \vdots\\f_n \end{pmatrix}}^t=\sum_{i=1}^n f_ie_i
\]
"SaraMath":
Spero di aver reso l'idea. Tornando al caso con più dimensioni l'autore a questo punto dice (testuali parole):
"Dire che $F$ è una base significa dire che ogni vettore di $K^n$ si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori di $F$. In particolare si scrivono in modo unico i vettori di $E$. Quindi esiste una matrice, che NATURALMENTE
Credo che abbia invertito i simboli \( F \) ed \( E \) a 'sto punto: il primo è una base, il secondo un vettore qualunque.
Il "NATURALMENTE" credo si riferisca al fatto che il tuo autore ha deciso di usare una sorta di "moltiplicazione formale", nel senso che viene fatta manipolando vettori (della base) e componenti (del vettore) come se fossero tutti numeri di \( \mathbb{K} \).
Ok grazie, penso di aver capito. Posso chiederti che libro (o libri) hai utilizzato tu per studiare? Perchè utilizzare due libri diversi penso possa aiutare a vedere le spiegazioni da punti di vista differenti.
Nel libro che hai utilizzato si trattano anche i proiettori, minimi quadrati e pseudoinverse? Perchè dovrei arrivare lì come argomenti. In ogni caso grazie ancora per le risposte.
Nel libro che hai utilizzato si trattano anche i proiettori, minimi quadrati e pseudoinverse? Perchè dovrei arrivare lì come argomenti. In ogni caso grazie ancora per le risposte.
Dipende da quello che studi: io ho usato una parte di Lang, Algebra Lineare, fino ad ora (cerca "lang linear algebra" con Google). "Minimi quadrati" mi fa pensare che tu stia frequentando un corso "misto/applicativo"; non credo che un libro di algebra lineare "elementare" li tratti.
Sì è un corso di algebra accoppiato a un laboratorio per le applicazioni economico aziendali, quindi prevede anche una parte empirica (che è appunto trattata a livello teorico nel libro che utilizziamo). Del Lang ho già letto buone cose, magari lo accoppio al libro che stiamo utilizzando. Thanks 
"arnett":
Questo potrebbe fare al caso tuo. È un libro con molta algebra lineare e poca geometria: quindi ci sono minimi quadrati, pseudoinverse, decomposizioni varie (LU, QR, SVD, Cholesky...).
Ottimo, grazie mille!
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