Dubbio su basi e sistemi di generatori
Ciao a tutti,
il mio dubbio è questo: la coppia di vettori $(1,0,0),(0,1,0)$ si può considerare una base per $RR^2$?
Ecco il mio ragionamento:
-essendo due vettori lo spazio che possono generare sarà al massimo di dimensione $2$.
-è evidente che la coppia $(1,0,0),(0,1,0)$ è linearmente indipendente.
-teoricamente essendo una coppia (quindi essendo dello stesso numero della dimensione di $RR^2$) e avendo dimostrato la lineare indipendenza essi dovrebbero essere anche automaticamente una base per $RR^2$.
Il problema è: i vettori appartengono a $RR^3$, quindi non appartengono a $RR^2$ e $RR^2$ non può essere generato da vettori che non "contiene"!
Ma in questo caso la chiusura lineare della coppia genera $(a,b,0)$: ovvero la proiezione di $RR^3$ su $RR^2$. (la componente z è sempre nulla).
Dunque i due vettori in questione possono considerarsi base per $RR^2$ o solamente base per la proiezione di $RR^3$ su $RR^2$?
Grazie in anticipo!!
il mio dubbio è questo: la coppia di vettori $(1,0,0),(0,1,0)$ si può considerare una base per $RR^2$?
Ecco il mio ragionamento:
-essendo due vettori lo spazio che possono generare sarà al massimo di dimensione $2$.
-è evidente che la coppia $(1,0,0),(0,1,0)$ è linearmente indipendente.
-teoricamente essendo una coppia (quindi essendo dello stesso numero della dimensione di $RR^2$) e avendo dimostrato la lineare indipendenza essi dovrebbero essere anche automaticamente una base per $RR^2$.
Il problema è: i vettori appartengono a $RR^3$, quindi non appartengono a $RR^2$ e $RR^2$ non può essere generato da vettori che non "contiene"!
Ma in questo caso la chiusura lineare della coppia genera $(a,b,0)$: ovvero la proiezione di $RR^3$ su $RR^2$. (la componente z è sempre nulla).
Dunque i due vettori in questione possono considerarsi base per $RR^2$ o solamente base per la proiezione di $RR^3$ su $RR^2$?
Grazie in anticipo!!
Risposte
Per proiezione cosa intendi precisamente?
Concordo su quello che dicevi. Non appartendo non possono essere una base di $RR^2$, ma dimmi cosa intendi per "prolungamento".
Concordo su quello che dicevi. Non appartendo non possono essere una base di $RR^2$, ma dimmi cosa intendi per "prolungamento".
Bhè per proiezione intendo una trasformazione lineare di questo tipo: $T(x,y,z)=(x,y,0)$.
In questo caso proietto l'intero spazio $RR^3$ sul piano $RR^2$.
Perciò preso un generico vettore $v$ generato dalla coppia $(1,0,0),(0,1,0)$ del tipo $v=alpha*(1,0,0)+beta(0,1,0)$, è evidente che $v\in(x,y,0)$: ovvero appartiene a un piano generato dalla proiezione di $RR^3$ su $RR^2$.
In questo caso proietto l'intero spazio $RR^3$ sul piano $RR^2$.
Perciò preso un generico vettore $v$ generato dalla coppia $(1,0,0),(0,1,0)$ del tipo $v=alpha*(1,0,0)+beta(0,1,0)$, è evidente che $v\in(x,y,0)$: ovvero appartiene a un piano generato dalla proiezione di $RR^3$ su $RR^2$.
Quella che tu chiami proiezione non è ancora sufficiente a darti una base di \(\mathbb{R}^2\), tuttavia se definisci un'applicazione lineare
\[
L : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 : \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
\]
manda il vettore \(\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) in \(\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix}\) ed il vettore \(\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}\) in \(\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}\) e questo ti da una base di \(\mathbb{R}^2\).
\[
L : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 : \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
\]
manda il vettore \(\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) in \(\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix}\) ed il vettore \(\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}\) in \(\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}\) e questo ti da una base di \(\mathbb{R}^2\).
Ok, grazie!
Credevo che dimostrando che $(1,0,0),(0,1,0)$ generassero $(x,y,0)$ e dal momento che $(x,y,0)$ è isomorfo a $(x,y)$ si potesse identificare $(x,y,0)$ con $(x,y)$. [è simile al procedimento di identificazione di un numero reale $"x"$ alla coppia $(x,0)$ dove (parte reale,parte immaginaria), così da poter dire che i reali sono particolari numeri complessi].
A quanto pare mi sbagliavo!
Credevo che dimostrando che $(1,0,0),(0,1,0)$ generassero $(x,y,0)$ e dal momento che $(x,y,0)$ è isomorfo a $(x,y)$ si potesse identificare $(x,y,0)$ con $(x,y)$. [è simile al procedimento di identificazione di un numero reale $"x"$ alla coppia $(x,0)$ dove (parte reale,parte immaginaria), così da poter dire che i reali sono particolari numeri complessi].
A quanto pare mi sbagliavo!
Attenzione! Anche \(\mathbb{R}^4\) è isomorfo ad \(\mathbb{M}_{2}\) [matrici quadrate di ordine 2] ma non è che la base canonica di \(\mathbb{R}^4\) genera \(\mathbb{M}_{2}\)!
Ok chiarissimo, grazie!
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