Dubbio su base di tensori e derivate
ho un po' di confusione su alcuni concetti fondamentali:
prendiamo come semplice esempio un tensore T con una componente covariante e una controvariante:
$T=T_{\nu}^{\mu} (\partial_{\mu}\otimes\dx^\nu)$
non ho capito come si chiamano i $\dx^\nu$
mentre i $\partial_{\mu}$ sono le derivate parziali e se agisco su una funzione ottengo il gradiente $\partial_{\mu}\f$ , per i $\dx^\nu$ non ho ben capito cosa si intende e come agiscono.
riuscite a spiegarmelo? magari con un esempio breve...
grazie
prendiamo come semplice esempio un tensore T con una componente covariante e una controvariante:
$T=T_{\nu}^{\mu} (\partial_{\mu}\otimes\dx^\nu)$
non ho capito come si chiamano i $\dx^\nu$
mentre i $\partial_{\mu}$ sono le derivate parziali e se agisco su una funzione ottengo il gradiente $\partial_{\mu}\f$ , per i $\dx^\nu$ non ho ben capito cosa si intende e come agiscono.
riuscite a spiegarmelo? magari con un esempio breve...
grazie
Risposte
Sei su una varietà differenziabile di dimensione [tex]n[/tex] e hai fissato una carta locale [tex](U,\varphi)[/tex]. Sai che [tex]\varphi:U\to\varphi(U)\subset\mathbb{R}^n[/tex] è un omeomorfismo.
Siano [tex]x^1,...,x^n:U\to\mathbb{R}[/tex] le funzioni componenti di [tex]\varphi[/tex].
Allora [tex]\mathrm{d}x^\nu[/tex] è il differenziale della funzione [tex]x^\nu[/tex].
Oppure puoi vedere [tex]\mathrm{d}x^1,\dots,\mathrm{d}x^n[/tex] come le [tex]1[/tex]-forme su [tex]U[/tex] tali che per ogni punto [tex]p\in U[/tex] si ha che [tex](\mathrm{d}_px^1,\dots,\mathrm{d}_px^n)[/tex] è la base duale di [tex]\displaystyle \left(\left.\frac{\partial}{\partial x^1}\right|_p,\dots,\left.\frac{\partial}{\partial x^n}\right|_p\right)[/tex].
Sei hai qualche dubbio chiedi pure.
Siano [tex]x^1,...,x^n:U\to\mathbb{R}[/tex] le funzioni componenti di [tex]\varphi[/tex].
Allora [tex]\mathrm{d}x^\nu[/tex] è il differenziale della funzione [tex]x^\nu[/tex].
Oppure puoi vedere [tex]\mathrm{d}x^1,\dots,\mathrm{d}x^n[/tex] come le [tex]1[/tex]-forme su [tex]U[/tex] tali che per ogni punto [tex]p\in U[/tex] si ha che [tex](\mathrm{d}_px^1,\dots,\mathrm{d}_px^n)[/tex] è la base duale di [tex]\displaystyle \left(\left.\frac{\partial}{\partial x^1}\right|_p,\dots,\left.\frac{\partial}{\partial x^n}\right|_p\right)[/tex].
Sei hai qualche dubbio chiedi pure.
ti ringrazio della risposta.
giusto per capire meglio come lavorare con queste cose, sappiamo che $\partial_{\mu}\dx^{\nu}=\delta_{\mu}^{\nu}$ essendo una la base duale dell'altra...
come faccio a provarlo meccanicamente? o con qualche esempio?
giusto per capire meglio come lavorare con queste cose, sappiamo che $\partial_{\mu}\dx^{\nu}=\delta_{\mu}^{\nu}$ essendo una la base duale dell'altra...
come faccio a provarlo meccanicamente? o con qualche esempio?
ah... un ultima cosa che mi confonde, centra qualcosa il vettore tangente $\frac{dx^mu(\lambda)}{d\lambda}$ con il differenziale??
grazie ancora
grazie ancora
"Cantaro86":
ti ringrazio della risposta.
giusto per capire meglio come lavorare con queste cose, sappiamo che $\partial_{\mu}\dx^{\nu}=\delta_{\mu}^{\nu}$ essendo una la base duale dell'altra...
come faccio a provarlo meccanicamente? o con qualche esempio?
Piuttosto scriverei $\dx^{\nu}(\partial_{\mu})=\delta_{\mu}^{\nu}$ (almeno per l'inizio, ti basta sapere che sono le $1$-forme che "agiscono" sui campi vettoriali!).
Per dimostrare ciò, puoi semplicemente usare la definizione di differenziale di una funzione...
Per qualche esempio, non saprei, prova a postare qualche calcolo che non ti riesce e lo facciamo insieme.
Così su due piedi, non mi viene in mente niente.
Per quanto riguarda il vettore tangente, qualche cosa c'entra.
Data una curva $gamma:I\to M$, il vettore tangente alla curva in un punto $p=gamma(lambda_0)$ è, per definizione, [tex]\displaystyle d_{\lambda_0} \gamma(\frac{d}{d \lambda})[/tex].
Esso -si dimostra- si può scrivere come combinazione dei $((partial_1)_p,...,(partial_n)_p)$ rispetto ad una carta in $p$ con coefficienti $\frac{dx^1}{d lambda}(lambda_0),...,\frac{dx^n}{d lambda}(lambda_0)$, dove $x^1,...,x_n$ sono le funzioni componenti di $gamma$.
N.B. Qui stiamo scrivendo $partial_mu$ per indicare quello che nel post precedente ho chiamato $\frac{\partial}{\partial x^mu}$.
ok, credo di iniziare a mettere in ordine le idee... vediamo se quello che ho capito è corretto:
data una funzione $f$ definita nello spazio tangente alla curva in un punto p, possiamo scrivere la sua derivata direzionale: $\frac{d}{d\lambda}f=\frac{dx^\mu}{d\lambda}\partial_\mu f$
mentre il differenziale di $f$ è $df=\partial_\mu f dx^\mu$
ha senso quello che ho scritto?
data una funzione $f$ definita nello spazio tangente alla curva in un punto p, possiamo scrivere la sua derivata direzionale: $\frac{d}{d\lambda}f=\frac{dx^\mu}{d\lambda}\partial_\mu f$
mentre il differenziale di $f$ è $df=\partial_\mu f dx^\mu$
ha senso quello che ho scritto?
Secondo me, ti stai sbagliando.
$f$ è una funzione differenziabile definita sul supporto della curva $gamma$ (e non nello spazio tangente) a valori in $RR$.
Allora si tratta la derivata direzionale di $f$ lungo $gamma$ in un punto $p=gamma(lambda_0)$ è
[tex]\displaystyle \left(\dot{\gamma}(\lambda_0)\right)(f)=\left(\frac{dx^\mu}{d \lambda}(\lambda_0)(\partial_\mu)_p\right)(f)=\frac{dx^\mu}{d \lambda}(\lambda_0)\left((\partial_\mu)_pf\right)[/tex],
dove la prima uguaglianza è una conseguenza dell'espressione del vettore tangente rispetto ad una carta data nel mio messaggio precedente (ho messo qualche parentesi di troppo per far capire meglio chi agisce su chi).
Per quanto riguarda il differenziale di $f$ (funzione definita sulla varietà e a valori in $RR$) è ok. Quella che hai dato è la sua espressione in coordinate locali.
$f$ è una funzione differenziabile definita sul supporto della curva $gamma$ (e non nello spazio tangente) a valori in $RR$.
Allora si tratta la derivata direzionale di $f$ lungo $gamma$ in un punto $p=gamma(lambda_0)$ è
[tex]\displaystyle \left(\dot{\gamma}(\lambda_0)\right)(f)=\left(\frac{dx^\mu}{d \lambda}(\lambda_0)(\partial_\mu)_p\right)(f)=\frac{dx^\mu}{d \lambda}(\lambda_0)\left((\partial_\mu)_pf\right)[/tex],
dove la prima uguaglianza è una conseguenza dell'espressione del vettore tangente rispetto ad una carta data nel mio messaggio precedente (ho messo qualche parentesi di troppo per far capire meglio chi agisce su chi).
Per quanto riguarda il differenziale di $f$ (funzione definita sulla varietà e a valori in $RR$) è ok. Quella che hai dato è la sua espressione in coordinate locali.
ok, sta mattina studiando ho ordinato tutti questi concetti nella mia testa, ma credo che avrò bisogno di un po di tempo per "metabolizzarli"
grazie ancora e in caso scriverò di nuovo!
grazie ancora e in caso scriverò di nuovo!
E io, se posso, ti aiuterò con piacere.
Buono Studio!
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