Dubbio su Applicazione Lineare

[CarR1]

Salve a tutti, mi sono imbattuto in questo quesito a risposta multipla:
" Siano V, W due spazi vettoriali reali e $ f: V -> W $ un'applicazione lineare.
a. Se $ dim(V)=2, dim(W)=3 $ allora f è necessariamente iniettiva
b. Se $ dim(V)=2, dim(W)=1 $ allora f è necessariamente suriettiva
c. Se $ dim(V)=2, dim(W)=1 $ allora f non può essere iniettiva
d. Se $ dim(V)=1, dim(W)=1 $ allora f è necessariamente un isomorfismo

Ora io il quesito l'ho risolto in questo modo: applicando il teorema della dimensione ho che $ dim(V)=dim(Ker)+dim(W) $, in particolare in questo caso ho che la $ dim(V)=2>dim(W) $ quindi f non può essere iniettiva, e fin qui ci sono

Se verifico la risposta d ottengo che $dim(Ker)=0$ quindi non ottengo un isomorfismo?

PS. Premetto che ho visto la soluzione del quesito ed è proprio la c la risposta esatta, è un piccolo dubbio che voglio chiarire questo.
Grazie mille a tutti...

[CarR1]

Nel caso dell'applicazione nulla, se non erro, so che il $ Ker(f)=V $ ed $ Im(f)=0 $. Quindi applicata a quel caso non ho più l'isomorfismo poiché $ dim(V) != dim Im(f) $ giusto?