Dubbio su applicazione identità
salve a tutti,avrei un dubbio sciocco sull'applicazione identica...
in pratica se prendo l'applicazione identica da $RR^2->RR^2$ $ I(v)=v $
e gli do due basi diverse,quella $ b=(b_1(1,1),b_2(1,-1)) $ nel dominio e quella canonica nel codominio,ho che
$I(b_1)=b_1=e_1+e_2$
$I(b_2)=b_2=e_1-e_2$
in componenti equivale a
$I(1,0)=(1,1)$
$I(0,1)=(1,-1)$ che sarebbe un'applicazione che associa un elemento di $RR^2$ scritto con la base $b$ a se stesso,ma scritto con la base canonica
la stessa cosa si ottiene avendo questa applicazione...
$F(x,y)=(x+y,x-y)$....
La mia domanda stupida è:$F$ è l'applicazione identica?
viceversa se avessi scritto,con le stesse basi, $F(x,y)=(x,y)$,allora quest'ultima non sarebbe un applicazione identica? poiche $F(b_1)!=e_1$ ...
in pratica se prendo l'applicazione identica da $RR^2->RR^2$ $ I(v)=v $
e gli do due basi diverse,quella $ b=(b_1(1,1),b_2(1,-1)) $ nel dominio e quella canonica nel codominio,ho che
$I(b_1)=b_1=e_1+e_2$
$I(b_2)=b_2=e_1-e_2$
in componenti equivale a
$I(1,0)=(1,1)$
$I(0,1)=(1,-1)$ che sarebbe un'applicazione che associa un elemento di $RR^2$ scritto con la base $b$ a se stesso,ma scritto con la base canonica
la stessa cosa si ottiene avendo questa applicazione...
$F(x,y)=(x+y,x-y)$....
La mia domanda stupida è:$F$ è l'applicazione identica?
viceversa se avessi scritto,con le stesse basi, $F(x,y)=(x,y)$,allora quest'ultima non sarebbe un applicazione identica? poiche $F(b_1)!=e_1$ ...
Risposte
Ciao,
la matrice associata alla tua applicazione lineare (il cambio di base) é:
[tex]\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
1 & -1\end{array}\right)[/tex]
che non é l'applicazione identitá, ma un isomorfismo $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$. Stai mappando (in maniera invertibile) ciascuna coppia di reali (le coordinate x,y dei vettori nella prima base) ad un'altra (unica) coppia di reali (le coordinate x,y dei vettori nella base canonica).
Di cambi di base ne puoi fare infiniti: non credo che ciascuno di questi infiniti cambi di base venga generalmente chiamato 'identitá'. Per quello che so, l'applicazione identitá ha per matrice associata la matrice identitá, appunto.
Spero che altri utenti possano confermare.
la matrice associata alla tua applicazione lineare (il cambio di base) é:
[tex]\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
1 & -1\end{array}\right)[/tex]
che non é l'applicazione identitá, ma un isomorfismo $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$. Stai mappando (in maniera invertibile) ciascuna coppia di reali (le coordinate x,y dei vettori nella prima base) ad un'altra (unica) coppia di reali (le coordinate x,y dei vettori nella base canonica).
Di cambi di base ne puoi fare infiniti: non credo che ciascuno di questi infiniti cambi di base venga generalmente chiamato 'identitá'. Per quello che so, l'applicazione identitá ha per matrice associata la matrice identitá, appunto.
Spero che altri utenti possano confermare.
grazie per la risposta,
per prima cosa...
non dovrebbe essere invece un automorfismo? visto che nella teoria l'automorfismo fa riferimento ad un'applicazione isomorfa,da uno spazio $V$ in se stesso,prescindendo dalle basi scelte,su questo vorrei essere piu convinto.
comunque siamo tutti d'accordo che $ M_(v,v)(F)= I_n $ se e solo se $ F=Id $
ma questo che significa che se cambio base a $Id$ non la chiamo più $Id$??
per prima cosa...
"maitomiesdan":
che non é l'applicazione identitá, ma un isomorfismo $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$..
non dovrebbe essere invece un automorfismo? visto che nella teoria l'automorfismo fa riferimento ad un'applicazione isomorfa,da uno spazio $V$ in se stesso,prescindendo dalle basi scelte,su questo vorrei essere piu convinto.
comunque siamo tutti d'accordo che $ M_(v,v)(F)= I_n $ se e solo se $ F=Id $
ma questo che significa che se cambio base a $Id$ non la chiamo più $Id$??
Se cambi base tu componi la funzione $Id$ con la funzione di cambio base, la funzione che ne risulta non è più la funzione $Id$
Ragazzi, io veramente non ho proprio tempo da oggi fino a lunedì. ma vi devo avvisare che state prendendo un grosso sfondone. Una cosa sono le applicazioni lineari, un'altra le matrici che le rappresentano: può quindi capitare benissimo che l'applicazione identica non sia rappresentata dalla matrice identica. Consultate "Algebra lineare for dummies" di Sergio per una spiegazione chiara e concisa.
citando testualmente dal testo riportato da dissonance:
"...Una matrice di cambiamento di base è una matrice associata ad un'applicazione lineare di uno spazio vettoriale in se stesso..."
Da questo deduco che non sia fuori luogo parlare di automorfismo.
Tuttavia il resto della mia discussione é errato.
Basta pensare al vettore (1,1) nella base canonica e che sarebbe uguale al vettore (1/2,1/2) espresso nella base {(2,0),(0,2)}.
In tal caso per passare da (1,1) a (1/2 1/2) si deve moltiplicare per una matrice di cambiamento di base che non é la matrice identitá, ma bensí $diag(1/2,1/2)$.
Mi scuso per lo sfondone, e attendo quindi la risposta precisa al tuo quesito da un utente di maggiore competenza.
"...Una matrice di cambiamento di base è una matrice associata ad un'applicazione lineare di uno spazio vettoriale in se stesso..."
Da questo deduco che non sia fuori luogo parlare di automorfismo.
Tuttavia il resto della mia discussione é errato.
Basta pensare al vettore (1,1) nella base canonica e che sarebbe uguale al vettore (1/2,1/2) espresso nella base {(2,0),(0,2)}.
In tal caso per passare da (1,1) a (1/2 1/2) si deve moltiplicare per una matrice di cambiamento di base che non é la matrice identitá, ma bensí $diag(1/2,1/2)$.
Mi scuso per lo sfondone, e attendo quindi la risposta precisa al tuo quesito da un utente di maggiore competenza.
Mmm francamente non ho capito bene, ma provo a rispondere io.
Le matrici che rappresentano un'applicazione lineare lavorano con componenti rispetto ad una base e non direttamente con le immagini dei vettori.
Quindi il problema non si pone. Scelte due qualsiasi basi si può costruire univocamente la matrice che rappresenta la $F$. Ovviamente cambiando le basi non deve cambiare l'espressione della $F$, altrimenti ciò che sarebbe controproducente (ed assurdo!)
Veniamo al tuo esempio, magari riesco a farmi capire meglio.
Tu definisci una $F : RR^2 \to RR^2$ tale che $F(x,y)=(x,y)$ e questa è ovviamente l'identità.
Consideriamo due basi di $RR^2$, $B$ e $B_c$ definite come nel tuo primo post.
Allora per scrivere la matrice applichiamo la definizione $F(1,1)=(1,1)=1 e_1+1 e_2$, $F(1,-1)=(1,-1)=1 e_1 -1e_2$
Da cui la nostra matrice sarà $((1,1),(1,-1))$ che ovviamente non è la matrice identica. Eppure la nostra applicazione lo è.
Perchè una lavora su vettori ( e sulle immagini) la matrice invece ci fornisce le componenti.
Per convincerti di questa cosa, supponiamo di voler determinare $F$ partendo proprio dalla matrice.
Si ha che $F(1,1)=1 e_1+1 e_2=(1,1)$ dove le componenti sono quella della prima colonna della matrice.
e $F(1,-1)=1e_1+(-1)e_2=(1,-1)$.
Per cui abbiamo che la nostra $F$ è l'identità.
Spero di essermi spiegato.
Le matrici che rappresentano un'applicazione lineare lavorano con componenti rispetto ad una base e non direttamente con le immagini dei vettori.
Quindi il problema non si pone. Scelte due qualsiasi basi si può costruire univocamente la matrice che rappresenta la $F$. Ovviamente cambiando le basi non deve cambiare l'espressione della $F$, altrimenti ciò che sarebbe controproducente (ed assurdo!)
Veniamo al tuo esempio, magari riesco a farmi capire meglio.
Tu definisci una $F : RR^2 \to RR^2$ tale che $F(x,y)=(x,y)$ e questa è ovviamente l'identità.
Consideriamo due basi di $RR^2$, $B$ e $B_c$ definite come nel tuo primo post.
Allora per scrivere la matrice applichiamo la definizione $F(1,1)=(1,1)=1 e_1+1 e_2$, $F(1,-1)=(1,-1)=1 e_1 -1e_2$
Da cui la nostra matrice sarà $((1,1),(1,-1))$ che ovviamente non è la matrice identica. Eppure la nostra applicazione lo è.
Perchè una lavora su vettori ( e sulle immagini) la matrice invece ci fornisce le componenti.
Per convincerti di questa cosa, supponiamo di voler determinare $F$ partendo proprio dalla matrice.
Si ha che $F(1,1)=1 e_1+1 e_2=(1,1)$ dove le componenti sono quella della prima colonna della matrice.
e $F(1,-1)=1e_1+(-1)e_2=(1,-1)$.
Per cui abbiamo che la nostra $F$ è l'identità.
Spero di essermi spiegato.
"cappellaiomatto":
La mia domanda stupida è:$F$ è l'applicazione identica?
Rispetto alle basi che hai considerato, sì
"cappellaiomatto":
viceversa se avessi scritto,con le stesse basi, $F(x,y)=(x,y)$,allora quest'ultima non sarebbe un applicazione identica? poiche $F(b_1)!=e_1$ ...
Rispetto alle basi che hai considerato, no
Cioè l'applicazione identica, se prendi dominio e codominio con le stesse basi, è data dalla matrice identità; se però cambi una di queste due basi, allora hai sempre l'applicazione identica ma rappresentata da una matrice che non sarà più la matrice identità.
Spero di aver detto giusto sennò significa che mi devo fare un ripasso approfondito
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