Dubbio sottospazio vettoriale

[Ale1121]

Ciao a tutti, avrei un piccolo dubbio su un passaggio del seguente esercizio:
Data l'applicazione lineare f(x,y,z)=(x+y,x+y+z,z,z)
Trovare la controimmagine di (1,2,1,1).

Banalmente la controimmagine del vettore dato sono tutti i vettori (x,y,z) tali che f(x,y,z)=(1,2,1,1). Risolvo quindi il seguente sistema:
x+y=1
x+y+z=2
z=1

Trovo infinito alla uno soluzioni del tipo (1-y,y,1). E qui arriva la domanda, come trovo lo spazio dei generatori se non posso raccogliere la y?
Dalla teoria so che quello non è un sottospazio ma come rispondo alla domanda? Grazie!!

[Bokonon]

Infatti non è un sottospazio vettoriale e quella che hai trovato è già la risposta (se non ti piace y, metti un'altra lettera)
$ ( ( 1-y ),( y ),( 1 ) ) =( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )+y( ( -1 ),( 1 ),( 0 ) ) $
Una soluzione particolare + la soluzione omogenea (ovvero la base del kernel di F).

[Ale1121]

Tutto chiaro grazie mille!