Dubbio sistemi lineari con parametri

[Oscar19]

Ciao a tutti
Faccio una premessa prima di iniziare
Quando io svolgo un sistema lineare NON omogeneo (parametrico o non) se opero con Gauss mi conviene fare la riduzione della matrice incompleta. Poi il rango di questa sarà il rango della matrice completa....cosi mi ha detto il prof....(credo che lui si riferisca alle matrici quadrate...giusto???)
Il mio dubbio è....se può capitare che il rango di A sia diverso dal rango A|b ????
Vi mostro cosa intendo con un esempio...

Al variare del parametro h , si discuta e si risolva il seguente sistema lineare

$\{(x - 3y - 2hz = 1),(x -(h-1)y -z = 1),(x - y - hz = 2h-1):}$

Con m=n=3 (m=equazioni=3 , n=incognite=3)

Soluzione

La matrice incompleta allora sara'....

$((1,3,2),(1,1-h,-h),(1,-1,-1))$

Quella completa sarà...

$((1,-3,-2,1),(1,1-h,-h,1),(1,-1,-1,2h-1))$

Facendo l'E.G. le due matrici saranno...

$A=((1,-3,-2),(0,4-h,2-h),(0,0,0))$ rg A=2

con $det=4-h$ con h=4 diverso da zero

$A|b=((1,-3,-2,1),(0,4-h,2-h,0),(0,0,0,4h-4))$ rg A|b=3

Come devo procedere ????

Il mio dubbio è : devo trovarmi prima il determinante e poi i ranghi....??? come ho fatto è giusto? Poi in base a quello che i ranghi mi "indicano" svolgo Rouche-Capelli o Cramer

Grazie mille sempre a chi mi aiuta

[Bokonon]

C'è molta confusione in ciò che scrivi e vedo errori sparsi nel creare le matrici.

$\{(x - 3y - 2hz = 1),(x -(h-1)y -z = 1),(x - y - hz = 2h-1):}$ e $((1,-3,-2h),(1,1-h,-1),(1,-1,-h))*( ( x ),( y ),( z ) )=( ( 1 ),( 1 ),( 2h-1 ) )$ ovvero $Ax=b$
sono la medesima cosa.
E adesso si procede per logica. Se ha A ha rango massimo o, analogamente, determinante diverso da zero, allora il kernel (o spazio nullo) della matrice contiene solo l'origine (ovvero ha dimensione zero). Questo significa che il sistema ha sempre e solo una soluzione. Se la matrice A NON ha rango massimo, allora il kernel avrà una dimensione diversa da zero e il sistema può avere infinite oppure nessuna soluzione. In questo caso il problema è parametrico quindi dipende da h e vogliamo appunto trovare i valori di h per cui il sistema ha soluzioni.

La prima cosa da fare sarà appunto "analizzare" la matrice A e trovarne il rango...ma visto che dopo vorrai risolvere anche il sistema tanto vale lavorare con la matrice "aumentata", in modo che le operazioni che applichi ad A, le applichi al vettore b.
Esattamente come quando risolvevi il sistema "manualmente" lavorando equazione per equazione...è chiaro che se modifichi un membro devi modificare anche l'altro in egual misura, no?
Ti eri abituata con i sistemi omogenei dove b era il vettore nullo..quindi non ha senso portarselo dietro in una matrice aumentata dato che per qualsasi operazione per riga resta sempre se stesso...ma ora non hai un vettore nullo, ecco perchè è comodo creare una matrice aumentata. Ma se ti crea confusione, scrivi la matrice mettendo una linea verticale prima dell'ultima colonna per ricordarti cosa stai facendo.

Quindi ripeto, la prima cosa è analizzare il rango della matrice A al variare di h, ed eventualmente determinare la base che genera il suo kernel per i valori di h per cui A ha rango non massimo. Ok?
Portati dietro anche il vettore b ma ma ragiona prima sulla A. ok?

Lo scopo finale sarà trovare (se esiste) l'unica soluzione per i valori di h che rendono A di rango massimo e, se possibile, le infinite soluzioni per i valori di h che soddisfano il sistema ma in cui A non ha rango massimo....ovvero una soluzione particolare + la soluzione della omogenea.

Questo stai facendo!

[anto_zoolander]

Aggiungo una cosa a quanto detto da Bokonon.
Un modo carino di vedere queste cose è di considerare una famiglia automorfismi $L_h:RR^3->RR^3$ con basi canoniche fissate. In modo tale che quella matrice risulti la matrice rappresentativa di ogni automorfismo della famiglia

$L_h(X)=A_h*X$

a questo punto il teorema di Rouchè-Capelli è chiaro e dice che dato $Y in RR^3$ allora

[size=85]$Y=A_h*X <=> Y in <=> r(A_h)=r(A_(h,1),A_(h,2),A_(h,3),Y)=r(A_(h,1),A_(h,2),A_(h,3)):=r(A_h|Y)$[/size]

dove $A_(h,j)$ è la $j-$esima colonna della matrice $A_h$
Di fatto l'ultima equivalenza(a destra) indica che $Y$ dipenda dagli altri vettori.

Quindi in poche parole chiedersi se quel sistema ammetta soluzioni equivale al chiedersi se esista qualche applicazione della famiglia che trasformi $X$ in $Y$

nb; è chiaro che se fosse $r(A_h)=r(A_h|Y)$ e per assurdo $Y notin $ allora si avrebbe subito che $r(A_h)

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[Oscar19]

Grazie ragazzi
Ok avevo capito che c'era qualcosa di sbagliato .
Infatti mi sono accorto che avevo scritto la matrice completa ed incompleta in modo errato..... mi sono dimenticato una h.
Io prima di utilizzare il metodo dato dal professore con l'E.G, mi calcolavo il determinante(Sarrus come in questo caso)..trovavo i valori di h , poi caso per caso verificavo i ranghi con i valori di h(li ho corretti vengono h=1 e h=2)....

Per h=1,2 considero i minori di ordine 2 perché il det=0
Verifico se il sistema è indeterminato o impossibile.

Per $h!=1,2$ il $det!=0$ quindi il rgA=rgA|b=n=3 svolgo cramer

È giusto così....??? Ho sbaglio ancora???

[Bokonon]

"Oscar19":
È giusto così....??? Ho sbaglio ancora???

Se il sistema corretto è quello iniziale che poi riporto nel mio post, allora i valori per cui il determinante è zero sono $ h=+- sqrt(2) $
Ricontrolla e poi completa l'esercizio...c'è ancora un sacco di lavoro da fare

[Oscar19]

Hai ragione una svista.....anche a me era venuto così...ho copiato il risultato di un' altro esercizio mi sento mortificato
Scusa ancora....
Oggi sono andato dal prof. (con i valori di h giusti) e mi son fatto spiegare i dubbi....
Quindi per me si può concludere qui questo esercizio.....
Grazie ancora e scusa