Dubbio sistema lineare parametrico 4 incognite 3 equazioni
Ciao a tutti,
premetto che ho effettuato una ricerca nel forum ma, malgrado il problema credo sia diffuso non ho trovato post in merito.
l'esercizio che devo svolgere è il seguente:
si studi per quali valori del parametro reale $ alpha $ il seguente sistema ammette un'unica soluzione e per quali valori ne ammette più di una:
$ { (alphax +2y+z+w=0),( 2x+2y+z+2w=0 ),( alphax+alphay+z+w=1 ):} $
ora, dal teorema di R.C. ho che il sistema ammette un'unica soluzione se e solo se $ rank(A)=rank(A|b)=n $ ma in questo caso non è possibile perchè essendo $ n=4 $, il rango di una matrice $ 3*4 $ non potrà mai essere pari a 4. dunque dato per scontato che indipendentemente dal parametro $ alpha $ il sistema non avrà mai un'unica soluzione, devo verificare che ne abbia infinite ossia che $ rank(A)=rank(A|b) $.
ora, utilizzando le prime 3 colonne della matrice, det $ ( ( alpha , 2 , 1 ),( 2 , 2 , 1 ),( alpha , alpha , 1 ) ) = -(alpha -2)^2 $ quindi ho che per $ alpha != 2$ $ rank(A)=3 $.
il determinante di $ ( ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 2 , 0 ),( 1 , 1 , 1 ) ) = 1 $ quindi $ rank(A|b)=3 $ e ho che il sistema ha infinite soluzioni dipendenti da $ n-r $ parametri, cioè $ 4-3=1 $ parametro.
per determinare tali soluzioni la regola di Cramer mi dice che devo calcolare $AA_i, x_i=det(A_i)/det(A) $ e qui sorge il problema: il $ det(A_i) $ lo posso calcolare, correggetemi se sbaglio clamorosamente, sia utilizzando le prime 3 colonne come ho fatto (perchè il det esiste solo di una matrice quadrata) sia utilizzando le ultime 3 della matrice incompleta, ma nei due casi ottengo determinanti diversi, dunque a seconda di come lo calcolo ho risultati diversi e questo non credo sia giusto.
come devo fare?
grazie in anticipo
premetto che ho effettuato una ricerca nel forum ma, malgrado il problema credo sia diffuso non ho trovato post in merito.
l'esercizio che devo svolgere è il seguente:
si studi per quali valori del parametro reale $ alpha $ il seguente sistema ammette un'unica soluzione e per quali valori ne ammette più di una:
$ { (alphax +2y+z+w=0),( 2x+2y+z+2w=0 ),( alphax+alphay+z+w=1 ):} $
ora, dal teorema di R.C. ho che il sistema ammette un'unica soluzione se e solo se $ rank(A)=rank(A|b)=n $ ma in questo caso non è possibile perchè essendo $ n=4 $, il rango di una matrice $ 3*4 $ non potrà mai essere pari a 4. dunque dato per scontato che indipendentemente dal parametro $ alpha $ il sistema non avrà mai un'unica soluzione, devo verificare che ne abbia infinite ossia che $ rank(A)=rank(A|b) $.
ora, utilizzando le prime 3 colonne della matrice, det $ ( ( alpha , 2 , 1 ),( 2 , 2 , 1 ),( alpha , alpha , 1 ) ) = -(alpha -2)^2 $ quindi ho che per $ alpha != 2$ $ rank(A)=3 $.
il determinante di $ ( ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 2 , 0 ),( 1 , 1 , 1 ) ) = 1 $ quindi $ rank(A|b)=3 $ e ho che il sistema ha infinite soluzioni dipendenti da $ n-r $ parametri, cioè $ 4-3=1 $ parametro.
per determinare tali soluzioni la regola di Cramer mi dice che devo calcolare $AA_i, x_i=det(A_i)/det(A) $ e qui sorge il problema: il $ det(A_i) $ lo posso calcolare, correggetemi se sbaglio clamorosamente, sia utilizzando le prime 3 colonne come ho fatto (perchè il det esiste solo di una matrice quadrata) sia utilizzando le ultime 3 della matrice incompleta, ma nei due casi ottengo determinanti diversi, dunque a seconda di come lo calcolo ho risultati diversi e questo non credo sia giusto.
come devo fare?
grazie in anticipo
Risposte
Non puoi applicare la regola di Cramer ai sistemi con $n$ equazioni e $m != n$ incognite!
Questa regola vale solo per i sistemi $n \times n$ (d'altronde non ha senso determinante di una matrice $3 \times 4$, come tu stesso/a hai detto...)! Devi trovare un'altra strada per arrivare alla soluzione.
Nota che il problema non ti chiede di determinare le soluzioni, ma solo i valori di $\alpha$ per cui ne hai una e quelli per cui ne hai più d'una
Questa regola vale solo per i sistemi $n \times n$ (d'altronde non ha senso determinante di una matrice $3 \times 4$, come tu stesso/a hai detto...)! Devi trovare un'altra strada per arrivare alla soluzione.
Nota che il problema non ti chiede di determinare le soluzioni, ma solo i valori di $\alpha$ per cui ne hai una e quelli per cui ne hai più d'una
ah perfetto. ma dunque quello che dicevo io, cioè che questo sistema non avrà per nessun valore di $alpha $ una sola soluzione perchè il rango di una matrice $3*4$ non potrà mai essere 4 ma 3 nel migliore dei casi, è corretto?
se così fosse dovrei poter prendere una sottomatrice 3x3 in entrambi i casi ( $(A) $ e $ (A|b)$ )e verificare per quali valori di $ alpha $ i rispettivi ranghi siano uguali, corretto?
se così fosse dovrei poter prendere una sottomatrice 3x3 in entrambi i casi ( $(A) $ e $ (A|b)$ )e verificare per quali valori di $ alpha $ i rispettivi ranghi siano uguali, corretto?
"zen34":
ah perfetto. ma dunque quello che dicevo io, cioè che questo sistema non avrà per nessun valore di $alpha$ una sola soluzione perchè il rango di una matrice $ 3*4 $ non potrà mai essere 4 ma 3 nel migliore dei casi, è corretto?
Certo, è quello che ti garantisce il teorema di Rouché-Capelli
[EDIT: Meglio: il teorema ti garantisce che hai un'unica soluzione se e solo se il rango delle due matrici (quella completa e quella non completa) è pari al numero di incognite. Invece, una matrice $3 \times 4$ non può avere rango maggiore di 3 perché non è possibile estrarre da essa una sottomatrice quadrata di ordine maggiore di 3
]"zen34":
se così fosse dovrei poter prendere una sottomatrice 3x3 in entrambi i casi ( $(A)$ e $ (A|b) $ )e verificare per quali valori di $ alpha $ i rispettivi ranghi siano uguali, corretto?
Che è quello che hai fatto. Manca solo un controllo: cosa succede quando $\alpha = 2$?
quando $alpha=2$ ottengo la matrice $ (A|b)=( ( 2 , 2 , 1 , 1 , 0 ),( 2 , 2 , 1 , 2 , 0 ),( 2 , 2 , 1 , 1 , 1 ) ) $ e, considerando i rispettivi ranghi ottengo che $rank(A)=rank(A|b)=2$ dunque anche in questo caso il sistema ammette infinite soluzioni dipendenti da $n-r=4-2=2 $ parametri. corretto?
Io non sono molto sicuro che la matrice completa abbia rango 2... prova a calcolare il rango eliminando le prime due colonne.
prova a calcolare il rango eliminando le prime due colonne.
ah sì, quando ho copiato la matrice completa, ho sbagliato a copiare la seconda colonna e quel 2 è diventato 1, così la matrice completa mi risultava di rango 2! ora ho corretto, e di conseguenza, ho che $rank(A) < rank(A|b) $ dunque per $ alpha=2 $ il sistema non ha soluzioni. dovrebbe essere corretto ora...
A dire il vero, anche in quel caso sarebbe dovuta risultare di rango 3, visto che l'errore di copiatura è sulla seconda colonna (di cui si può fare totalmente a meno nell'ottica del calcolo del rango, visto che è identica alla prima ed entrambe sono multiple della terza).
Ad ogni modo è così: la matrice completa ha rango 3, mentre quella incompleta ha rango 2.
In definitiva, non esistono valori di $\alpha$ per i quali il sistema ammette un'unica soluzione, mentre i valori di $\alpha$ tali che ne ammetta più d'una sono $\mathbb{R} - {2}$!
Ad ogni modo è così: la matrice completa ha rango 3, mentre quella incompleta ha rango 2.
In definitiva, non esistono valori di $\alpha$ per i quali il sistema ammette un'unica soluzione, mentre i valori di $\alpha$ tali che ne ammetta più d'una sono $\mathbb{R} - {2}$!
si, specifico solamente, che l'errore di copiatura si è verificato solamente quando ho calcolato il rango della matrice completa, negli altri casi è corretto, dunque concordo con le tue conclusioni!
Grazie mille per l'aiuto! a buon rendere!
Grazie mille per l'aiuto! a buon rendere!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo