Dubbio sistema lineare con parametro "a" e "b"

[SandroBelgiorno]

Salve a tutti, ho questo sistema lineare e devo trovare per quali valori di $a$ e $b$ il sistema è determinato, indeterminato e impossibile. Il sistema è questo qui:

$\{(x + y =1),(x - y = a),(x + y = b):}$

quindi:

$A$ $((1,1),(1,-1),(1,1))$ e $b$ $((1),(a),(b))$

Trovo il determinante di un minore
$|M|$ $=$ $|(1,1),(1,-1)|$ $=$ $-2$

quindi quindi il $rg(A)= 2$

Calcolo il determinante della matrice completa:

$|(1,1,1),(1,-1,a),(1,+1,b)|$ $=$ $-2(b-1)$

se $b=1$ $rg(A|b)=2$ sistema compatibile, determinato
se $b!=1$ $rg(A|b)=3$ sistema impossibile

Svolgo quindi il sistema per $b=1$

$\{(x + y = 1),(x - y = a),(x + y = b):}$

$\{(x + y = 1),(x - y = a),(x + y = 1):}$

$\{(x = 1 - y),(x - y = a),(x + y = 1):}$

$\{(x = 1 - y),(1 - y - y = a),(1- y -y = 1):}$

$\{(x = 1 - y),(1 -2y = a),(1-2y = 1):}$

$\{(x = 1 - y),(-2y = a-1),(y = 0):}$

$\{(x = 1 ),(a=1),(y = 0):}$

Il dubbio che ho riguarda $a$, dovrebbe essere un parametro invece mi risulta come incognita. Potete dirmi se ho svolto bene così, oppure c'è qualcosa da riguardare? Anche perchè l'esercizio mi dice per quali valori di $a$ e $b$ il sistema è determinato... mentre così riesco a vedere soltanto per quale valore di $b$ è determinato. Grazie a tutti in anticipo!

[SandroBelgiorno]

Ho risolto..