Dubbio risoluzione esercizio sulle applicazioni lineari

[digirolamodaniele2004]

Salve.
Stavo provando a risolvere un esercizio di algebra lineare riguardante le applicazioni lineari:
Se V = R[x]/(x3) è lo spazio dei polinomi reali in una indeterminata di grado minore di 3 e f : V → V
è la funzione lineare definita dalla formula

$f(p) = p(−1) − p(1) $

qual è la dimensione del suo nucleo?

a-0
b-1
c-2
d-3[/list:u:1w3i0kir]
Stavo pensando di procedere costruendo la matrice associata alla funzione, in tal modo sfruttando l' isomorfismo delle coordinate posso ridurre a scala la matrice ed ottenere la $dim(Im(f))$, questo mi consentirebbe automaticamente di avere la $dim(ker(f))$(teorema delle dimensioni).

Tuttavia, il problema è che non riesco a costruire la matrice associata, in particolare fissando la base canonica dello spazio R[x]/(x3) e calcolando le immagini di ciascun vettore ottengo quanto segue:

$f(x^3) = 0 $ $ f(x^2) = 0 $ $f(x) = 0 $ $f(1) = ?$
riguardo all' ultimo non so come valutare 1 in -1 e 1, inoltre non sono sicuro della correttezza delle immagini associate a $x^3$ $x^2$ $x$ .

[Quinzio]

Se il polinomio e' $p(x) = a_2x^2 +a_1x+a_0$,

hai che $f(p) = -2a_1 x $,

e gli altri coefficienti sono a zero.

La matrice associata e' questa:

$M = ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $

Si ricava facilmente che la dimensione del nucleo e' $2$