Dubbio risoluzione esercizio riguardo diagonalizzazione / matrici simili

[stichtom1]

Ciao a tutti, ho questo esercizio:
Sia f un endomorfismo di R^3 avente <(1, 2, 1),(1, 1, 1)> e <(1, 0, −1)> come autospazi relativi, rispettivamente, agli autovalori 0 ed 1.
a) Dopo aver verificato che B = {(1, 2, 1),(1, 1, 1),(1, 0, −1)} è una base di R^3, scrivere la matrice di f rispetto alla base B sia nel dominio che nel codominio;
b) stabilire se f `e diagonalizzabile;
c) stabilire se i vettori (0, 1, 0) e (2, 1, 0) sono autovettori di f;
d) stabilire se esistono basi di R^3 rispetto alle quali la matrice di f è:
1 2 1
1 1 1
1 0 −1

Io per risolverlo mi sono basato sul fatto che essendo B una base del dominio formata da autovettori, sono sicuro che la matrice associata alla funzione sia diagonalizzabile. Di conseguenza posso scrivere P^(-1) * D * P = M e quindi mi ricavo la mia matrice associata. I punti b e c li risolvo senza problemi, ma non ho proprio idea di come affrontare il punto d. Qualcuno riesce a dirmi se il procedimento che ho usato è giusto e come affrontare questo punto? Grazie mille

[elvis3]

Per il punto d), puoi osservare che, se \(A\) è la matrice di \(f\) rispetto a una qualsiasi base di \(\mathbb{R}^3\), allora \(A\) ha rango 1.