Dubbio riguardo la base di un sottospazio
Salve ragazzi, mi sono trovato per la prima volta difronte a questo problema e non so se la mia soluzione è adeguata o sto sbagliando qualcosa:
sto valutando:
\(\displaystyle W=\{(x,y) \in R^2 \ \ t.c. \ \ x=hy ,\ \ h \in R \ \ \& \ \ h \geq 0 \} \subseteq R^2 \)
devo dire se è un sottospazio e valutarne quindi una base.
Ho pensato si trattasse di un sottospazio di \(\displaystyle R^2 \) in quanto è stabile rispetto ad addizione e moltiplicazione per uno scalare e contiene l'elemento neutro, ma ho potuto dire questo avendo "momentaneamente fissato" un h, ad esempio per:
\(\displaystyle h=5 : \)
\(\displaystyle dati:\ \ v=(15,3)\ ,\ w=(20,4) \rightarrow \ v,w \in W\ \ \& \ \ v+w=(35,7) \in W \ ; \ \ kv \in W \ \ \forall k \in R \)
pertanto W mi sembra stabile rispetto alle operazioni e quindi un sottospazio, la base che ho immaginato potesse generare tale sottospazio è :
\(\displaystyle L((h,1)) \ \ , \ h \in R \)
a patto quindi che si fissi una h con \(\displaystyle L(W) \) fatto in questo modo posso generare tutti gli elementi di W per l'h fissata. . .il punto è che prima d'oggi non mi sono mai ritrovato di fronte una base contenente una variabile. . .pertanto credo di star commettendo qualche errore, voi cosa mi dite?
sto valutando:
\(\displaystyle W=\{(x,y) \in R^2 \ \ t.c. \ \ x=hy ,\ \ h \in R \ \ \& \ \ h \geq 0 \} \subseteq R^2 \)
devo dire se è un sottospazio e valutarne quindi una base.
Ho pensato si trattasse di un sottospazio di \(\displaystyle R^2 \) in quanto è stabile rispetto ad addizione e moltiplicazione per uno scalare e contiene l'elemento neutro, ma ho potuto dire questo avendo "momentaneamente fissato" un h, ad esempio per:
\(\displaystyle h=5 : \)
\(\displaystyle dati:\ \ v=(15,3)\ ,\ w=(20,4) \rightarrow \ v,w \in W\ \ \& \ \ v+w=(35,7) \in W \ ; \ \ kv \in W \ \ \forall k \in R \)
pertanto W mi sembra stabile rispetto alle operazioni e quindi un sottospazio, la base che ho immaginato potesse generare tale sottospazio è :
\(\displaystyle L((h,1)) \ \ , \ h \in R \)
a patto quindi che si fissi una h con \(\displaystyle L(W) \) fatto in questo modo posso generare tutti gli elementi di W per l'h fissata. . .il punto è che prima d'oggi non mi sono mai ritrovato di fronte una base contenente una variabile. . .pertanto credo di star commettendo qualche errore, voi cosa mi dite?
Risposte
Non era necessario che fissassi $h$:
$lambda((ha),(a))+((hb),(b))=((h (lambda a+b)),(lambda a+b))=((hc),(c)) in W$.
La base è giusta, il ragionamento pure. Quel $W$ è una famiglia di sottospazi, ed il singolo sottospazio è individuato da un valore di $h$ e tu hai trovato la base generica...spero di averti aiutato.
$lambda((ha),(a))+((hb),(b))=((h (lambda a+b)),(lambda a+b))=((hc),(c)) in W$.
La base è giusta, il ragionamento pure. Quel $W$ è una famiglia di sottospazi, ed il singolo sottospazio è individuato da un valore di $h$ e tu hai trovato la base generica...spero di averti aiutato.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo