Dubbio riguardo il concetto di base per uno spazio vettoriale
Ciao a tutti!
Ho un dubbio riguardo il concetto di base... In particolare non ho capito se la condizione di lineare indipendenza di un insieme di vettori è sufficiente a stabilire se questi sono oppure no una base per un certo spazio vettoriale. Inoltre non mi è chiaro come è necessario procedere per verificare che un certo insieme di vettori siano generatori di uno spazio vettoriale. Un insieme di vettori $ { v_1,v_2,...,v_k}sube V $ sono un insieme di generatori per $ V $ se ogni vettore $ w $ $ in V $ può essere scritto come combinazione lineare dei vettori $ v_1,v_2,...,v_k $, quindi mi basterebbe ridurre a scala la matrice completa di ordine $kxx h$ ponendo come vettore del termine noto il vettore $w={w_1,...,w_h}$ e verificando che il rango della matrice completa sia uguale a quello della matrice del sistema omogeneo associato, giusto? Esiste un metodo più rapido? Le mie perplessità sono dovute al fatto che provando a risolvere un esercizio nel quale mi veniva chiesto di decidere se un insieme di tre vettori fossero una base per lo spazio vettoriale $ mathbb(R)^3 $, questi pur risultando essere indipendenti e generatori, quest'ultima condizione verificata attraverso il procedimento descritto prima, non erano tuttavia una base per lo spazio $ mathbb(R)^3 $. Mi chiedevo dunque se il procedimento per la verifica che un insieme di vettori siano generatori per uno spazio vettoriale fosse corretto.
Ho un dubbio riguardo il concetto di base... In particolare non ho capito se la condizione di lineare indipendenza di un insieme di vettori è sufficiente a stabilire se questi sono oppure no una base per un certo spazio vettoriale. Inoltre non mi è chiaro come è necessario procedere per verificare che un certo insieme di vettori siano generatori di uno spazio vettoriale. Un insieme di vettori $ { v_1,v_2,...,v_k}sube V $ sono un insieme di generatori per $ V $ se ogni vettore $ w $ $ in V $ può essere scritto come combinazione lineare dei vettori $ v_1,v_2,...,v_k $, quindi mi basterebbe ridurre a scala la matrice completa di ordine $kxx h$ ponendo come vettore del termine noto il vettore $w={w_1,...,w_h}$ e verificando che il rango della matrice completa sia uguale a quello della matrice del sistema omogeneo associato, giusto? Esiste un metodo più rapido? Le mie perplessità sono dovute al fatto che provando a risolvere un esercizio nel quale mi veniva chiesto di decidere se un insieme di tre vettori fossero una base per lo spazio vettoriale $ mathbb(R)^3 $, questi pur risultando essere indipendenti e generatori, quest'ultima condizione verificata attraverso il procedimento descritto prima, non erano tuttavia una base per lo spazio $ mathbb(R)^3 $. Mi chiedevo dunque se il procedimento per la verifica che un insieme di vettori siano generatori per uno spazio vettoriale fosse corretto.
Risposte
Puoi postare un esempio concreto? Tre vettori (di dimensione tre) linearmente indipendenti sono sempre una base di $RR^3$
ciao e grazie per la risposta. L'esercizio in questione mi dava 3 vettori e mi chiedeva di decidere se questi fossero una base per $ mathbb(R)^3 $:
$u_1= | ( 2 ),( 5 ),( 0 ) | , u_2=|(3),(1),(2)|, u_3=|(1),(-4),(2)|$
I vettori dati non sono uno multiplo dell'altro e l'unica soluzione di $ alpha_1u_1+alpha_2u_2+alpha_3u_3=0$ è $alpha_1=alpha_2=alpha_3=0$, sono quindi linearmente indipendenti, giusto?
Grazie in anticipo
$u_1= | ( 2 ),( 5 ),( 0 ) | , u_2=|(3),(1),(2)|, u_3=|(1),(-4),(2)|$
I vettori dati non sono uno multiplo dell'altro e l'unica soluzione di $ alpha_1u_1+alpha_2u_2+alpha_3u_3=0$ è $alpha_1=alpha_2=alpha_3=0$, sono quindi linearmente indipendenti, giusto?
"axpgn":in che senso tre vettori di dimensione tre? E quando posso dire attraverso la sola verifica della lineare indipendenza che un insieme di vettori è una base per uno spazio vettoriale?
Tre vettori (di dimensione tre) linearmente indipendenti sono sempre una base di $ RR^3 $
Grazie in anticipo
"giacomo24":
I vettori dati non sono uno multiplo dell'altro e l'unica soluzione di $ alpha_1u_1+alpha_2u_2+alpha_3u_3=0$ è $alpha_1=alpha_2=alpha_3=0$, sono quindi linearmente indipendenti, giusto?
No, non sono linearmente indipendenti (se non ho sbagliato i conti
); tu come hai fatto a stabilirlo?"giacomo24":
... in che senso tre vettori di dimensione tre?
Beh, un vettore può essere una coppia di elementi, una terna, una quaterna, ecc. ... non va dato per scontato, va precisato
"giacomo24":
E quando posso dire attraverso la sola verifica della lineare indipendenza che un insieme di vettori è una base per uno spazio vettoriale?
Specifica meglio cosa intendi ...
Cordialmente, Alex
A parte che un vettore (per definizione) è un elemento di uno spazio vettoriale...
Si ha che \(\displaystyle\underline{u}_1-\underline{u}_2+\underline{u}_3=\underline{0}\), quindi codesti vettori non sono l.i.!
Si ha che \(\displaystyle\underline{u}_1-\underline{u}_2+\underline{u}_3=\underline{0}\), quindi codesti vettori non sono l.i.!
"axpgn":
No, non sono linearmente indipendenti (se non ho sbagliato i conti
Ho provato a risolvere
$alpha_1 ( ( 2 ),( 5 ),( 0 ) ) +alpha_2( ( 3),( 1 ),( 2 ) ) +alpha_3( ( 1 ),( -4 ),( 2) ) =( ( 0 ),( 0),( 0 ) ) $
e ho ottenuto, dopo aver ridotto a scala, il sistema
$ { ( 5alpha_1+alpha_2-4alpha_3=0 ),( 13alpha_2-3alpha_3=0 ),( 32alpha_3=0 ):} $
che ammette come unica soluzione $alpha_1=alpha_2=alpha_3=0$, ti risulta? Altrimenti devo aver sbagliato qualcosa, purtroppo sono alle prime armi
"axpgn":
Specifica meglio cosa intendi ...
Intendo dire che, per definizione di base di uno spazio vettoriale generico $V$, dato un insieme di $k$ vettori, questi affinché possano costituire una base per $V$ devono essere linearmente indipendenti e devono essere generatori dello stesso. Quindi per essere considerati una base questi tre vettori $u_1, u_2, u_3$ devono soddisfare entrambe le condizioni, giusto? O è sufficiente che solamente una delle due sia verificata?
Grazie ancora per la pazienza.
Purtroppo hai sbagliato i conti da qualche parte; mostraceli ...
Necessitano entrambe.
Se prendi una base e togli un vettore, quelli rimasti sono ancora l.i. ma non generano tutto lo spazio vettoriale del quale sono la base.
D'altro canto se prendi la stessa base e aggiungi un vettore creato come combinazione lineare della stessa base, generi lo stesso spazio vettoriale ma i vettori non sono più l.i.
"giacomo24":
O è sufficiente che solamente una delle due sia verificata?
Necessitano entrambe.
Se prendi una base e togli un vettore, quelli rimasti sono ancora l.i. ma non generano tutto lo spazio vettoriale del quale sono la base.
D'altro canto se prendi la stessa base e aggiungi un vettore creato come combinazione lineare della stessa base, generi lo stesso spazio vettoriale ma i vettori non sono più l.i.
mentre scrivevo i vari passaggi effettuati mi sono accorto di un errore di calcolo...Quindi sì, sono linearmente dipendenti.
Dunque perché molte volte su vari forum mi è capitato di leggere che per verificare se un insieme di vettori è una base per uno spazio vettoriale è sufficiente verificare solamente la lineare indipendenza di questi? Non andrebbe verificato anche che i vettori siano oppure no generatori di quello spazio? Anche lei prima ha detto che " tre vettori (di dimensione tre) linearmente indipendenti sono sempre una base di $ mathbb(R) ^3 $"... è l'ultimo dubbio che mi attanaglia, poi non la disturbo più giuro
.
Grazie ancora.
"axpgn":
Necessitano entrambe.
Dunque perché molte volte su vari forum mi è capitato di leggere che per verificare se un insieme di vettori è una base per uno spazio vettoriale è sufficiente verificare solamente la lineare indipendenza di questi? Non andrebbe verificato anche che i vettori siano oppure no generatori di quello spazio? Anche lei prima ha detto che " tre vettori (di dimensione tre) linearmente indipendenti sono sempre una base di $ mathbb(R) ^3 $"... è l'ultimo dubbio che mi attanaglia, poi non la disturbo più giuro
.Grazie ancora.
Detto in modo informale:
quelle due condizioni necessitano entrambe ma poi esistono tanti teoremi che ti permettono di arrivare a certe conclusioni più velocemente.
Ragionare su casi concreti è più semplice.
quelle due condizioni necessitano entrambe ma poi esistono tanti teoremi che ti permettono di arrivare a certe conclusioni più velocemente.
Ragionare su casi concreti è più semplice.
grazie mille, credo di aver capito!
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