Dubbio rango matrici e soluzioni

[ilcekoo]

Ciao a tutti, mi serve il vostro aiuto

In un sistema a 4 incognite e 3 equazioni, mi trovo ad avere rango della matrice incompleta e completa uguale, pari a 2

Quindi in teoria dovrei avere infinite quadruple di soluzioni con due delle quali sono indipendenti e due dipendenti dalle altre.

Il sistema poi si rivela senza soluzioni.
Chiedo dunque: il fatto che il rango delle due matrici sia uguale, solamente ammette ma non assicura che ci siano soluzioni.
Giusto, o sto sbagliando qualcosa?

Grazie mille in anticipo

[ilcekoo]

Ho capito ora che stavo commettendo un errore nel calcolo del rango della matrice completa.
Quest'ultima di rango 3, mentre quella incompleta di rango 2.

Quindi se il rango è identico, le soluzioni ESISTONO, non sono solamente ammesse.
Meglio tardi che mai

[dedalus1]

Ciao ilcekoo, ti confermo che le due opzioni cui il Teorema di Rouchè-Capelli ti pone di fronte sono:
a) Sistema compatibile (=ammette soluzione=ha certamente almeno una soluzione) r(A) = r(A|B)
b) Sistema incompatibile (=non ammette soluzioni) r(A|B) > r(A)

Se ti trovi nel caso a), se n è il numero di incognite:
1. n = r(A) allora il sistema ammette una ed una sola soluzione;
2. n > r(A) allora il sistema ammette infinite soluzioni e il grado di infinito è dato da n - r(A).

Buon divertimento

[catalanonicolo]

Se il determinante della matrice completa è non nullo, allora il sistema si dice crameriano o di Cramer, ovvero ammette una ed una sola soluzione. Quindi se ti interessa trovare l'unica soluzione del sistema, poni $ det(A)!= 0 $. Ovviamente i ranghi di della matrice completa e incompleta devono essere uguali (In questo caso avrai sempre una soluzione ed il sistema si dice compatibile).