Dubbio punto di vista geometrico spazi vettoriali

[caffeinaplus]

Salve a tutti, stavo provando a immaginarmi dal punto di vista geometrico come è la situazione dei piani nello spazio (intesi come spazi vettoriali).Prendiamo due piano ( quindi basi diverse ) $pi$ e $pi_1$.Ora mi chiedevo, ma $pi$ contiene $pi_1$ dato che i vettori della sua base possono essere scritti come combo della base $pi$ e viceversa.Ma allora vale anche il contrario.Quindi posso affermare che $pi$ e $pi_1$ sono lo stesso piano?Non dovrebbe essere cosi, però non riesco a uscirmene da questo ragionamento.Grazie a chiunque mi aiuterà

[anto_zoolander]

Frena. Hai fatto geometria affine?

[caffeinaplus]

Si con la geometria affine è ovvio non sia cosi dato che posso "traslare" i piani, sperando di non dire amenità

[anto_zoolander]

Se parli di piani vettoriali vuol dire che se per esempio $V$ è uno spazio di dimensione $ngeq3$ e $W,U$ sono due piani vettoriali, quindi aventi dimensione $2$ vuol dire che se $B={w_1,w_2}$ e $WsubseteqU$ allora $BsubsetU$ da cui nota che sono due vettori linearmente indipendenti di $U$ quindi se $uinU$ è un vettore qualsiasi allora posto $aw_1+bw_2+cu=0$ se fosse $c=0$ sarebbero nulli anche $a,b$ e quindi sarebbero linearmente indipendenti che è assurdo visto che $dimU=2$ pertanto $c ne0$ e si ha $(-a/c)w_1+(-b/c)w_2=u$ ovvero $w_1,w_2$ sono un sistema di generatori di $U$ linearmente indipendenti quindi si ha $W= =U=>W=U$

Non capisco l’affermazione ‘quindi basi diverse’.
Basta che prendi la base di uno e mostri che è base anche dell’altro. Anche perché devi supporre che $WsubseteqU$ o viceversa ma non entrambe vere, sennò non hai nulla da dimostrare perché per doppia inclusione coinciderebbero e quindi non avrebbe senso. Pertanto supponi che abbiano la stessa dimensione e che uno dei due è contenuto nell’altro per poi concludere che devono necessariamente coincidere.
Di fatto se non coincidessero allora esisterebbe un vettore $u inU$ tale che $u$ non appartiene a $W=$ ovvero $u,w_1,w_2$ sarebbe linearmente indipendenti e $u,w_1,w_2 inU$ quindi avrebbe almeno dimensione $3$ il che sarebbe assurdo per ipotesi. Insomma puoi dimostrarlo come meglio preferisci.

In generale si mostra che due spazi della stessa dimensione di cui uno è contenuto nell’altro, devono sempre e comunque coincidere

[caffeinaplus]

Quindi è vero che il piano vettoriale è unico?Perché pensavo alla situazione di una stella di piani con centro in $O$.Questi piani sono tutti spazi vettoriali, ma il piano qui non è unico.C'è qualcosa che mi sfugge per forza


Edit: fonti esterne mi hanno aiutato a risolvere il dubbio, grazie comunque