Dubbio matrice diagonale
Salve, ho un dubbio sulla costruzione della matrice diagonale, intesa come passaggio finale del processo di diagonalizzazione.
Cercando di farla breve, in quale "ordine" devo piazzare gli autovalori nella diagonale? Vi faccio un esempio:
Se sto cercando la matrice D tale che $D = H^(-1)AH$, dove
$A = | ( 5 , 0 , 1 ),( 0 , 4 , 0 ),( 3 , 0 , 1 ) | $ e $H = | ( 1 , 0 , 3 ),( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ) | $
è possibile determinare a priori che, come da soluzione: $D = | ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 4 ) | $ oppure si deve per forza calcolare l'inversa e fare il prodotto sopra descritto?
Grazie
Cercando di farla breve, in quale "ordine" devo piazzare gli autovalori nella diagonale? Vi faccio un esempio:
Se sto cercando la matrice D tale che $D = H^(-1)AH$, dove
$A = | ( 5 , 0 , 1 ),( 0 , 4 , 0 ),( 3 , 0 , 1 ) | $ e $H = | ( 1 , 0 , 3 ),( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ) | $
è possibile determinare a priori che, come da soluzione: $D = | ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 4 ) | $ oppure si deve per forza calcolare l'inversa e fare il prodotto sopra descritto?
Grazie
Risposte
Se cambi l'ordine degli autovalori cambia la matrice di cambiamento di base.
Quello che importa è che rispetti lo stesso ordine nella matrice H: se $λ$ è il primo autovalore, il relativo autovettore vi deve essere la prima colonna di H, e così via.
Quello che importa è che rispetti lo stesso ordine nella matrice H: se $λ$ è il primo autovalore, il relativo autovettore vi deve essere la prima colonna di H, e così via.
Mamma mia Feddy, grazie mille ancora e attento che ad avere a che fare con me si rischia la sanità mentale! 
Comunque si, ma allora in quel caso la matrice non dovrebbe essere del tipo $ | ( 4 , 0 , 0 ),( 0 , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) | $ ?
perchè, se devo rispettare l'ordine della matrice H, l'autospazio relativo all'autovalore 4 è : ${(1,0,1),(0,1,0)}$
Comunque si, ma allora in quel caso la matrice non dovrebbe essere del tipo $ | ( 4 , 0 , 0 ),( 0 , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) | $ ?
perchè, se devo rispettare l'ordine della matrice H, l'autospazio relativo all'autovalore 4 è : ${(1,0,1),(0,1,0)}$
Help please? (non sono sicuro di quanto si debba aspettare prima di uppare :/)
in teoria bisognerebbe aspettare due giorni....
ad ogni modo, la matrice $A$ da te definita non ha come autovalori 4 e 2..
ad ogni modo, la matrice $A$ da te definita non ha come autovalori 4 e 2..
Prova a diagonalizzare la seguente matrice associata a un endomorfismo di $R^3$.
$ [ ( 1 , 0 , 0 ),( -1 , 2 , 0 ),( -1 , 0 , 2 ) ] $
Autovalori:
$lambda_1=1$ con m.a =1 e m.g=1 Autovettore relativo: $ langle1,1,1rangle $
$lambda_2=2$ con m.a=2 e m.g = 2 Autovettore relativo: $ langle((0),(1),(0))((0),(0),(1))rangle $
Chiamiamo S la matrice diagonalizzante con colonne gli autovettori:
$ [ ( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 1,0,1 ) ]^-1 [ ( 1,0,0 ),( -1,2,0 ),( -1,0,2 ) ] [ ( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 1,0,1 ) ] =[ ( 1 ,0 , 0 ),( 0,2,0 ),( 0,0,2 ) ] $
Proviamo ora a scambiare l'ordine degli autovettori nella matrice diagonalizzante.
$ [ ( 0,0,1),( 1,0,1 ),( 0,1,1) ]^-1 [ ( 1,0,0 ),( -1,2,0 ),( -1,0,2 ) ] [( 0,0,1),( 1,0,1 ),( 0,1,1) ] =[ ( 2 ,0 , 0 ),( 0,2,0 ),( 0,0,1 ) ] $
$ [ ( 1 , 0 , 0 ),( -1 , 2 , 0 ),( -1 , 0 , 2 ) ] $
Autovalori:
$lambda_1=1$ con m.a =1 e m.g=1 Autovettore relativo: $ langle1,1,1rangle $
$lambda_2=2$ con m.a=2 e m.g = 2 Autovettore relativo: $ langle((0),(1),(0))((0),(0),(1))rangle $
Chiamiamo S la matrice diagonalizzante con colonne gli autovettori:
$ [ ( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 1,0,1 ) ]^-1 [ ( 1,0,0 ),( -1,2,0 ),( -1,0,2 ) ] [ ( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 1,0,1 ) ] =[ ( 1 ,0 , 0 ),( 0,2,0 ),( 0,0,2 ) ] $
Proviamo ora a scambiare l'ordine degli autovettori nella matrice diagonalizzante.
$ [ ( 0,0,1),( 1,0,1 ),( 0,1,1) ]^-1 [ ( 1,0,0 ),( -1,2,0 ),( -1,0,2 ) ] [( 0,0,1),( 1,0,1 ),( 0,1,1) ] =[ ( 2 ,0 , 0 ),( 0,2,0 ),( 0,0,1 ) ] $
Mi sono reso conto che in realtà è $A= | ( 5 , 0 , -1 ),( 0 , 4 , 0 ),( 3 , 0 , 1 ) | $ (cambia il termine in posizione (1,3))
il cui polinomio caratteristico è $(4-X)^2 (X-2)$; quindi gli autovalori dovrebbero essere proprio 4 e 2 (almeno le soluzioni dicono così, e anche a me torna)
il cui polinomio caratteristico è $(4-X)^2 (X-2)$; quindi gli autovalori dovrebbero essere proprio 4 e 2 (almeno le soluzioni dicono così, e anche a me torna)
Ok, comunque per quel che riguarda la posizione degli autovalori (che è la tua domanda), è come ti ho detto 
Eh, appunto. Da sinistra, H presenta prima gli autovettori relativi all'autovalore 4, e dopo il 2... Quindi mi verrebbe da pensare che, sulla diagonale, ci siano prima i due 4 (posizioni (1,1) e (2,2)) e poi alla fine il 2 
Esatto, ma è quello che ti ho già mostrato con l'esempio...
Ja, quindi la matrice D del post iniziale è sbagliata 
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