Dubbio forma canonica forme quadratiche
Salve, avrei un dubbio sul secondo punto del seguente esercizio
Per rispondere al primo quesito ho scritto la matrice di Gram associata a $q$ nel riferimento naturale, che risulta
\[
A=\begin{pmatrix}
1& -1& 0 \\
-1 & 0& -1\\
0&-1 &1
\end{pmatrix}
\]
e ho ricavato gli autovalori $1,2,-1$ relativi agli autovettori $(1,0,-1)$, $(1,-1,1)$ e $(1,2,1)$. Se chiamo $\mathcal{R}=(e_{1},e_{2},e_{3})$ il riferimento ordinato normalizzato di autovettori, $A$ assume la forma
\[
D=\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 2 & 0 \\
0& 0 &-1
\end{pmatrix}
\]
Se chiamo ancora $x,y,z$ le componenti di un generico vettore di $\mathbb{R}^{3}$ in questo riferimento $\mathcal{R}$ ottengo
\[
q'(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}-z^{2}
\]
Ora, per il secondo punto, suppongo si intenda di trovare un riferimento ortonormale per cui $q$ assume una forma del tipo $q''(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}$. Per ottenerla, posso considerare il rifierimento $\mathcal{B}=(e_{1},\frac{e_{2}}{\sqrt{2}},e_{3})$ che è ortogonale MA non ortonormale ... e normalizzato coincide con $\mathcal{R}$
Dov'è l'inghippo?
Ps : E' giusto indicare le altre forme con $q'$ e $q'''$ se con $x,y,z$ intendo le coordinate nel primo riferimento, quello naturale? Mentre, se uso la stessa lettera dovrei usare lettere diverse per indicare le componenti nei riferimenti successivi, giusto?
Grazie in anticipo
Sia $q(x,y,z)=x^{2}+z^{2}-2xy-2yz$ una forma quadratica definita su $\mathbb{R}^{3}$ con il prodotto scalare standard
1) Si determini un riferimento ortonormale in cui $q$ è espressa in forma diagonale (non canonica)
2) Si determini un riferimento ortonormale in cui $q$ è espressa in forma canonica
3) Si determini la segnatura e il rango di $q$
Per rispondere al primo quesito ho scritto la matrice di Gram associata a $q$ nel riferimento naturale, che risulta
\[
A=\begin{pmatrix}
1& -1& 0 \\
-1 & 0& -1\\
0&-1 &1
\end{pmatrix}
\]
e ho ricavato gli autovalori $1,2,-1$ relativi agli autovettori $(1,0,-1)$, $(1,-1,1)$ e $(1,2,1)$. Se chiamo $\mathcal{R}=(e_{1},e_{2},e_{3})$ il riferimento ordinato normalizzato di autovettori, $A$ assume la forma
\[
D=\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 2 & 0 \\
0& 0 &-1
\end{pmatrix}
\]
Se chiamo ancora $x,y,z$ le componenti di un generico vettore di $\mathbb{R}^{3}$ in questo riferimento $\mathcal{R}$ ottengo
\[
q'(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}-z^{2}
\]
Ora, per il secondo punto, suppongo si intenda di trovare un riferimento ortonormale per cui $q$ assume una forma del tipo $q''(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}$. Per ottenerla, posso considerare il rifierimento $\mathcal{B}=(e_{1},\frac{e_{2}}{\sqrt{2}},e_{3})$ che è ortogonale MA non ortonormale ... e normalizzato coincide con $\mathcal{R}$
Dov'è l'inghippo?
Ps : E' giusto indicare le altre forme con $q'$ e $q'''$ se con $x,y,z$ intendo le coordinate nel primo riferimento, quello naturale? Mentre, se uso la stessa lettera dovrei usare lettere diverse per indicare le componenti nei riferimenti successivi, giusto?
Grazie in anticipo
Risposte
Prova con $\mathcal{B}=(e_{1},2e_{2},e_{3})$ e poi normalizzali
Ciao Bokonon. Così facendo $A$ dovrebbe assumere la forma
\[
D'=\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 4 & 0 \\
0& 0 &-1
\end{pmatrix}
\]
Però questa forma non è canonica, non presentando gli 1 e -1 . Inoltre, normalizzando $(e_{1},2e_{2},e_{3}$ non riottengo $(e_{1},e_{2},e_{3})$, che è il riferimento iniziale?
In effetti è quello che non mi trovo : il mio $\mathcal{B}$ ridà la forma che voglio ma non è ortonormale; e ogni normalizzazione mi porta a cambiare matrice e quindi forma della forma ... non so se mi son spiegato e/o dove sbaglio
\[
D'=\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 4 & 0 \\
0& 0 &-1
\end{pmatrix}
\]
Però questa forma non è canonica, non presentando gli 1 e -1 . Inoltre, normalizzando $(e_{1},2e_{2},e_{3}$ non riottengo $(e_{1},e_{2},e_{3})$, che è il riferimento iniziale?
In effetti è quello che non mi trovo : il mio $\mathcal{B}$ ridà la forma che voglio ma non è ortonormale; e ogni normalizzazione mi porta a cambiare matrice e quindi forma della forma ... non so se mi son spiegato e/o dove sbaglio
"Cantor99":
In effetti è quello che non mi trovo : il mio $\mathcal{B}$ ridà la forma che voglio ma non è ortonormale; e ogni normalizzazione mi porta a cambiare matrice e quindi forma della forma ... non so se mi son spiegato e/o dove sbaglio
Ciao Cantor99
Ti ho risposto di getto senza riflettere.
A pensarci bene, abbiamo $A=QDQ^(-1)$ dove Q è la matrice ortonormale degli autovettori.
Se cercassimo una matrice X tale che:
$A=QXLambdaX^(-1)Q^(-1)=(QX)Lambda(QX)^(-1)$ dove $ Lambda=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) ) $ e $D=XLambdaX^(-1)$
...non la troveremmo perchè, banalmente, $Lambda$ e $D$ non sono simili.
Chissà cosa chiede o se stiamo esagerando la richiesta. Potrebbe benissimo chiedere di trovare davvero la base ortonormale della forma canonica $q=x^2+y^2-z^2$ (dopo averla identificata al punto 1). Che dici?
Grazie per la risposta
Cercherò di andare a ricevimento...anche se ciò non accadrà nel breve (abito lontano dall'uni)
Ma quella base non è ortonormale, giusto? O non ho capito cosa intendi?
"Bokonon":
Chissà cosa chiede o se stiamo esagerando la richiesta.
Cercherò di andare a ricevimento...anche se ciò non accadrà nel breve (abito lontano dall'uni)
"Bokonon":
Potrebbe benissimo chiedere di trovare davvero la base ortonormale della forma canonica $q=x^2+y^2-z^2$ (dopo averla identificata al punto 1). Che dici?
Ma quella base non è ortonormale, giusto? O non ho capito cosa intendi?
"Cantor99":
Ma quella base non è ortonormale, giusto? O non ho capito cosa intendi?
Intendo che chieda proprio di trovare una base ortonormale per la forma canonica...una volta che è stata riconosciuta.
Quindi una richiesta banale banale.
Così diverrebbe banale, sì!
Mi sono consultato con un mio compagno e forse abbiamo trovato una soluzione
La base che è trovato non devo normalizzarla rispetto il prodotto scalare standard, cioè il modulo di un vettore $v$ nel nuovo riferimento è
\[
|v|=\sqrt{q(x)} \qquad x=c_{\mathcal{N}}(v)
\]
dove $\mathcal{N}$ è il riferimento canonico. Quindi
\[
|e_{1}|=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{q(1,0,-1)}=1
\]
\[
|e_{2}|=\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{q(1,-1,1)}=\sqrt{2}
\]
\[
|e_{3}|=\frac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{q(1,2,1)}=1
\]
Pertanto la mia $\mathcal{B}=(e_{1},\frac{e_{2}}{\sqrt{2}},e_{3})$ è ortonormale in questo senso
La base che è trovato non devo normalizzarla rispetto il prodotto scalare standard, cioè il modulo di un vettore $v$ nel nuovo riferimento è
\[
|v|=\sqrt{q(x)} \qquad x=c_{\mathcal{N}}(v)
\]
dove $\mathcal{N}$ è il riferimento canonico. Quindi
\[
|e_{1}|=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{q(1,0,-1)}=1
\]
\[
|e_{2}|=\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{q(1,-1,1)}=\sqrt{2}
\]
\[
|e_{3}|=\frac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{q(1,2,1)}=1
\]
Pertanto la mia $\mathcal{B}=(e_{1},\frac{e_{2}}{\sqrt{2}},e_{3})$ è ortonormale in questo senso
Non sono certo di aver capito bene cosa hai fatto ma un cambiamento di base deve essere reversibile.
Non possiamo asserire che $A$ è associata a $Lambda$ senza che sia possibile invertire il cambiamento di base e tornare ad A.
Credo che tu abbia fatto una cosa del tipo...data:
$A=QDQ^(-1)=QDQ^T$ (normalizzo perchè non cambia nulla)
Possiamo trovare una matrice $ T=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , sqrt(2) , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) )=T^T $ tale che $D=TLambdaT^T$
Sostituendo avremmo $A=QDQ^T=QTLambdaT^TQ^T=(QT)Lambda(QT)^T$
$QT$ (rotazione per rotazione) è ancora una matrice composta da vettori ortogonali e rappresenta una base che può essere normalizzata ma $(QT)^T != (QT)^(-1)$. Quindi non è più un cambio di base e non c'è relazione con A (o meglio si può trovare la trasformazione $A -> Lambda$ ma niente di più).
Fa un favore, controlla che effettivamente $QT$ sia la base che indichi.
BTW, ma il prof. non ha una email?
Non possiamo asserire che $A$ è associata a $Lambda$ senza che sia possibile invertire il cambiamento di base e tornare ad A.
Credo che tu abbia fatto una cosa del tipo...data:
$A=QDQ^(-1)=QDQ^T$ (normalizzo perchè non cambia nulla)
Possiamo trovare una matrice $ T=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , sqrt(2) , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) )=T^T $ tale che $D=TLambdaT^T$
Sostituendo avremmo $A=QDQ^T=QTLambdaT^TQ^T=(QT)Lambda(QT)^T$
$QT$ (rotazione per rotazione) è ancora una matrice composta da vettori ortogonali e rappresenta una base che può essere normalizzata ma $(QT)^T != (QT)^(-1)$. Quindi non è più un cambio di base e non c'è relazione con A (o meglio si può trovare la trasformazione $A -> Lambda$ ma niente di più).
Fa un favore, controlla che effettivamente $QT$ sia la base che indichi.
BTW, ma il prof. non ha una email?
In realtà non ho fatto nessun conto materiale, ho usato i risultati che abbiamo provato nel corso, che trovi qui
https://www.docenti.unina.it/webdocenti ... ico/157432
nelle pagine 7,8,9.
La base che chiede son sicuro essere quella e quella che abbiamo trovato è una giustificazione per l'appellativo "ortonormale". In effetti, poi $D$ e la matrice associata alla forma canonica non dovrebbero essere simili/congruenti
In realtà, non credo mi risponda per email, cioè chiederà di fissare un appuntamento, cosa che non posso permettermi ... però provo lo stesso
https://www.docenti.unina.it/webdocenti ... ico/157432
nelle pagine 7,8,9.
La base che chiede son sicuro essere quella e quella che abbiamo trovato è una giustificazione per l'appellativo "ortonormale". In effetti, poi $D$ e la matrice associata alla forma canonica non dovrebbero essere simili/congruenti
In realtà, non credo mi risponda per email, cioè chiederà di fissare un appuntamento, cosa che non posso permettermi ... però provo lo stesso
Ok.
Ho dato un'occhiata e in effetti è scritto esattamente ciò che ho scritto sopra. Quindi è davvero possibile che chieda il cambio di base e la "sola" congruenza fra le matrici $A$ e $Lambda$ passando attraverso la base ortonormale di $D$.
Però io chiederei comunque conferma via email al prof.
Magari spiega che stai lontano e spiega il tuo dubbio in modo assai chiaro e conciso.
Ho dato un'occhiata e in effetti è scritto esattamente ciò che ho scritto sopra. Quindi è davvero possibile che chieda il cambio di base e la "sola" congruenza fra le matrici $A$ e $Lambda$ passando attraverso la base ortonormale di $D$.
Però io chiederei comunque conferma via email al prof.
Magari spiega che stai lontano e spiega il tuo dubbio in modo assai chiaro e conciso.
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