Dubbio Forma canonica di Jordan
Ciao a tutti, sto svolgendo un esercizio che mi chiede di trovare la forma canonica di Jordan partendo da una matrice. La matrice in questione è:
\(\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2\end{bmatrix} \)
Trovo il polinomio caratterristico che è: \(\displaystyle (1-t)^2 * (2-t) \) quindi gli autovalori sono: \(\displaystyle \lambda = 1,\lambda = 2 \)
Trovo la molteplicità algebrica e geometrica dei singoli autovalori:
\(\displaystyle \lambda = 1 \rightarrow ma(1) = 2 , mg(1) = 2\)
\(\displaystyle \lambda = 2 \rightarrow ma(2) = 1, mg(2) = 1 \)
Questo vuol dire che per quanto riguarda l'autovalore 1, nella forma canoncia di Jordan, ci saranno 2 blocchi (perchè \(\displaystyle mg(1) = 2 \)) di grandezza 2 (perchè \(\displaystyle ma(1) = 2 \)). E per l'autovalore 2, ci sarà un blocco (perchè \(\displaystyle mg(2) = 1 \)) di grandezza 1 (perchè \(\displaystyle ma(2) = 1 \)).
Ma questo non è possibile prechè la forma canonica di Jordan ha la stessa dimensione della matrice di partenza, in questo caso 3*3.
Invece dalle informazioni che ho ,trovo questa matrice ( 5*5):
\(\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2\end{bmatrix} \)
Invece la forma canonica di Jordan esatta è:
\(\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{bmatrix} \)
Questo vuol dire 2 blocchi di grandezza 1 per l'autovalore 1, e un solo blocco di gradezza 1 per l'autovalore 2. Tradotto in termini:
Per \(\displaystyle \lambda = 1 \)
\(\displaystyle mg(1) = 2,ma(1) = 1 \)
Per \(\displaystyle \lambda = 2 \)
\(\displaystyle mg(2) = 1,ma(1)=1 \)
Potreste spiegarmi perchè non mi torna? Non vorrei trovare una base a stringhe per poi scrivere la matrice di Jordan.
Grazie delle eventuali risposte.
\(\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2\end{bmatrix} \)
Trovo il polinomio caratterristico che è: \(\displaystyle (1-t)^2 * (2-t) \) quindi gli autovalori sono: \(\displaystyle \lambda = 1,\lambda = 2 \)
Trovo la molteplicità algebrica e geometrica dei singoli autovalori:
\(\displaystyle \lambda = 1 \rightarrow ma(1) = 2 , mg(1) = 2\)
\(\displaystyle \lambda = 2 \rightarrow ma(2) = 1, mg(2) = 1 \)
Questo vuol dire che per quanto riguarda l'autovalore 1, nella forma canoncia di Jordan, ci saranno 2 blocchi (perchè \(\displaystyle mg(1) = 2 \)) di grandezza 2 (perchè \(\displaystyle ma(1) = 2 \)). E per l'autovalore 2, ci sarà un blocco (perchè \(\displaystyle mg(2) = 1 \)) di grandezza 1 (perchè \(\displaystyle ma(2) = 1 \)).
Ma questo non è possibile prechè la forma canonica di Jordan ha la stessa dimensione della matrice di partenza, in questo caso 3*3.
Invece dalle informazioni che ho ,trovo questa matrice ( 5*5):
\(\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2\end{bmatrix} \)
Invece la forma canonica di Jordan esatta è:
\(\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{bmatrix} \)
Questo vuol dire 2 blocchi di grandezza 1 per l'autovalore 1, e un solo blocco di gradezza 1 per l'autovalore 2. Tradotto in termini:
Per \(\displaystyle \lambda = 1 \)
\(\displaystyle mg(1) = 2,ma(1) = 1 \)
Per \(\displaystyle \lambda = 2 \)
\(\displaystyle mg(2) = 1,ma(1)=1 \)
Potreste spiegarmi perchè non mi torna? Non vorrei trovare una base a stringhe per poi scrivere la matrice di Jordan.
Grazie delle eventuali risposte.
Risposte
Questo vuol dire che per quanto riguarda l'autovalore 1, nella forma canoncia di Jordan, ci saranno 2 blocchi (perchè mg(1)=2) di grandezza 2 (perchè ma(1)=2)...
E' qui l'errore.Ci sono due blocchi ma la grandezza del blocco è uguale alla lunghezza della catena dei vettori generalizzati a cui dà origine l'autovettore. In questo caso non ci sono autovettore generalizzati, quindi questa lunghezza è 1(ossia l' autovettore stesso). La molteplicità algebrica non centra. O meglio se un autovalore ha molteplicità $k$ allora apparirà $k$ volte lungo la diagonale principale della forma di Jordan.
Grazie della risposta. Pensavo di dover fare affidamente solo sulla molteplicità geometrica e algebrica.
Grazie ancora !
Grazie ancora !
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo