Dubbio esericizio ricerca basi

[boerobest]

Salve a tutti ragazzi,
ho un problema con la ricerca delle basi. Spero possiate gentilmente aiutarmi!
Dati i seguenti sottospazi di R(2X2),
W= (LINEAR SPAN) ( $((1,2),(-1,4))$ , $((0.1),(2,0))$ , $((1,0),(h,4))$ , $((2,3),(-4,8))$ ))
determinare una base di W per ogni valore di h.
Sono riuscito a trovare la dim=2 per h=5. La base è data dalle prime due matrici.
Per h $!=$5 invece la dim=3. data da (linear span)(( $((1,2),(-1,4))$ , $((0.1),(2,0))$ $((0,0),(1,0))$ ))
Questa terza matrice non sono riuscito a ricavarla. come posso fare? Immagino sia la terza matrice.
$((1,0),(h,4))$ $=>$ $((1,0),(1,4/h))$ $=>$ $((1,4/h),(0,-4/h))$. Più di così non saprei fare..

MA il dubbio più grosso è questo:
Dato il seguente sottospazio
Z= [ $((a,b),(c,d))$ / a-3b-d= 4b+d=0 ],
Trovare una base per i sottospazi Z e Z $nn$W.
La dim Z=2, ed è formata da [ $((-1,1),(0,-4))$ , $((0,0),(1,0))$.
Ma il dubbio giunge nell'intersezione.
Ho scritto questo sistema
a+c=0
2a+b-c=0
-a+2b-d=0
4a+4c=0,
che mi risolve (a,-3a,-a,-7a), cioè la base è data da (linear span) $((1,-3),(-1,-7))$,
mentre invece la soluzione dovrebbe essere LINEAR SPAN( $((-1,1),(7,-4))$.
l'impostazione però è giusta? E' possibile che abbia solamente fatto errori di calcolo nell'ultimo sistema di equazioni?
Se la dimensione dell'intersezione è 1 significa che in Z alcune matrici non sono descrivibili con quest'ultima base? Perchè la dimensione di W e Z=2, mentre invece quella dell'intersezione è 1. Però provando due o tre matrici le ricavo anche solamente con una base. Non so se mi sono spiegato..
Ultimissima cosa stupida:
Come descrivo un polinomio complesso di terzo grado?
Quelli reali sono descritti da a $x^3$ + b $x^2$ + cx +d, ma quelli complessi non ne ho proprio idea.
Pensavo $(a+bi)x^3$ + $(c+di)x^2$ + (e+fi)x + g+hi, ma non ne sono molto convinto
Scusate se mi sono forse dilungato troppo e se la domanda è troppo stupida per essere postata su questo forum.
Non posso chiedere in facoltà perchè la frequento solamente per sostenere gli esami. Grazie mille a tutti!

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Ho svolto l'esercizio (intersezione dei sottospazi a parte, eventualmente svolgerò in seguito).
Se non ho sbagliato io qualche conto, lo svolgimento dovrebbe essere il seguente.

Sia $V=M(2 xx 2;RR)$ e siano $M_1,M_2,M_3,M_4inV$ le matrici seguenti:

$M_1=((1,2),(-1,4))$
$M_2=((0,1),(2,0))$
$M_3=((1,0),(h,4))$
$M_4=((2,3),(-4,8))$

Sia $W=W_h=mathcalL{M_1,M_2,M_3,M_4}$; si noti che $M_2+M_4=2M_1$, quindi si ha

$W_h=mathcalL{M_2,M_3,M_4}$

Altra osservazione: se $h=-5$, valendo $M_4-3M_2=2M_3$, si ha che $dimW_-5=2$ e che

$W_-5=mathcalL{M_2,M_4}$

Le matrici $M_2,M_4$ sono chiaramente linearmente indipendenti, quindi esse costituiscono una base di $W_-5$

Supponiamo che $h!=-5$; in questo caso, effettuando qualche conto (che io ometto), si prova che $dimW_h=3$ e che

$W_h=mathcalL{M_2,M_3,M_4}$

con $M_2,M_3,M_4$ base di $W_h$

Per quanto riguarda $Z={((a,b),(c,d)):a-3b-d=0=4b+d}$ si ricava che

$d=-4b Rightarrow a=3b+d=-b$, per cui

$Z={((-b,b),(c,-4b)):b,c inRR}={b((-1,1),(0,-4))+c((0,0),(1,0)):b,c inRR}=mathcalL{((-1,1),(0,-4)),((0,0),(1,0))}$

Naturalmente le due matrici che generano $Z$ sono chiaramente linearmente indipendenti, quindi esse costituiscono una base dello spazio.

Spero di non aver sbagliato dei conti.

Saluti.