Dubbio esercizio sulle applicazioni lineari kerL e imL
Buonasera a tutti, avrei bisogno di una mano con questo esercizio sulle applicazioni lineari. Più che altro non sono sicuro sul fatto che l'unico vettore del ker sia il vettore nullo.
Sia \(\displaystyle L: \mathbb{R}^3 \mapsto \mathbb{R}^3 \) l'applicazione lineare data da
\(\displaystyle L: \)$ ((x),(y),(z))$ = $((1,1,0),(1,1,0),(1,-1,0))$$((x),(y),(z))$
Determinare dimensione, una base ed equazioni cartesiane per i sottospazi kerL e ImL.
Per teoria so che il ker di L è l'insieme dei vettori v appartenenti a V tali che L(v) = 0 (vettore nullo dello spazio di arrivo)
Quindi mi ritrovo a dover risolvere questo sistema di equazioni.
$ { ( x+y=0 ),( x+y=0 ),( x-y=0 ):}$
Ma l'unica soluzione è il vettore nullo, quindi la base per kerL è composto solo dal vettore $ ((0),(0),(0))$ che ha dimensione 1.
Mentre imL è il rango della matrice A, quindi costituita dai vettori $ ((1),(1),(1))$ $ ((1),(1),(-1))$ dato che il vettore nullo si può scrivere come il primo o secondo vettore moltiplicato per lo scalare zero. Quindi imL ha dimensione 2.
Per il teorema nullità-rango la dimensione dello spazio di partenza è 3, cioè la dimensione del ker sommata alla dimensione dell'immagine.
Sia \(\displaystyle L: \mathbb{R}^3 \mapsto \mathbb{R}^3 \) l'applicazione lineare data da
\(\displaystyle L: \)$ ((x),(y),(z))$ = $((1,1,0),(1,1,0),(1,-1,0))$$((x),(y),(z))$
Determinare dimensione, una base ed equazioni cartesiane per i sottospazi kerL e ImL.
Per teoria so che il ker di L è l'insieme dei vettori v appartenenti a V tali che L(v) = 0 (vettore nullo dello spazio di arrivo)
Quindi mi ritrovo a dover risolvere questo sistema di equazioni.
$ { ( x+y=0 ),( x+y=0 ),( x-y=0 ):}$
Ma l'unica soluzione è il vettore nullo, quindi la base per kerL è composto solo dal vettore $ ((0),(0),(0))$ che ha dimensione 1.
Mentre imL è il rango della matrice A, quindi costituita dai vettori $ ((1),(1),(1))$ $ ((1),(1),(-1))$ dato che il vettore nullo si può scrivere come il primo o secondo vettore moltiplicato per lo scalare zero. Quindi imL ha dimensione 2.
Per il teorema nullità-rango la dimensione dello spazio di partenza è 3, cioè la dimensione del ker sommata alla dimensione dell'immagine.
Risposte
Se l'unico vettore del kernel fosse quello nullo, allora il kernel avrebbe dimensione nulla.
P.S. quanto vale $f((0),(0),(1))$ ?
P.S. quanto vale $f((0),(0),(1))$ ?
Hai ragione, se il kernel ha come unico vettore il vettore nullo allora la dimensione è nulla. Però se così fosse l'immagine avrebbe solo due vettori $((1),(1),(1))$ e $((1),(1),(-1))$ e per il teorema nullità-rango avremmo una dimensione due anziché tre.
Scusate la mia ignoranza ma sono i primi esercizi e sto cercando di inquadrare il meccanismo!
Scusate la mia ignoranza ma sono i primi esercizi e sto cercando di inquadrare il meccanismo!
Quel che voleva farti notare Magma è che trattandosi di sistema omogeneo con 2 parametri fissati ne hai uno libero, z.
Cioè assegnando $z=a$ parametro libero hai un vettore soluzione: $((0),(0),(a))$.
Pertanto la base sarà un vettore del tipo: $((0),(0),(1))$
Cioè assegnando $z=a$ parametro libero hai un vettore soluzione: $((0),(0),(a))$.
Pertanto la base sarà un vettore del tipo: $((0),(0),(1))$
Se dovessi invece determinare le equazioni cartesiane avrei che per \(\displaystyle Im(L) \) le equazioni parametriche sono
$ { ( x = alpha + beta ),( y = alpha + beta ),( z= alpha-beta ):} $
Risolvendo togliendo i parametri avrei
$ { ( x=y ),( z = alpha - beta ):} $
Mentre le equazioni parametriche per il \(\displaystyle Ker(L) \) sono
$ { ( x=0 ),( y=0 ),( z=1 ):} $
e quelle cartesiane
$ x+y+z=1 $
Possibile?
$ { ( x = alpha + beta ),( y = alpha + beta ),( z= alpha-beta ):} $
Risolvendo togliendo i parametri avrei
$ { ( x=y ),( z = alpha - beta ):} $
Mentre le equazioni parametriche per il \(\displaystyle Ker(L) \) sono
$ { ( x=0 ),( y=0 ),( z=1 ):} $
e quelle cartesiane
$ x+y+z=1 $
Possibile?
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