Dubbio esercizio sistema lineare

[fabiett1]

Ho un sistema di questo tipo
$ { ( x + 3y = 0 ),( 3x-3y-2z = 0 ),( 4x + hz =0 ):} $
in cui devo descrivere le soluzioni al variare del parametro h.
Ho impostato la matrice $ ( ( 1 , 3 , 0 ),( 3 , -3 , -2 ),( 4 , 0 , h ) ) $ e ho dedotto, calcolando il determinante, che se $h!=-2$ il sistema ha un'unica soluzione in quanto l'inversa che si ottiene è unica; altrimenti, il testo afferma che se $h = 2$ il sistema ammette un sottospazio unidimensionale di soluzioni.

Il mio dubbio riguarda l'ultima affermazione e, in particolare: mi sta dicendo che le soluzioni sono infinite? Se sì, perché le soluzioni sono infinite se il determinante è uguale a zero?

Grazie in anticipo

[feddy]

L'ultima affermazione ti dice sostanzialmente che lo spazio delle soluzioni di quel sistema lineare genera una sottoviarietà lineare unidimensionale.

Per $h !=2$ vedi subito che la soluzione esiste ed è unica.

Per $h=2$ troverai un parametro libero, e le tue soluzioni dipenderanno da tale parametro. Prova a farlo.

Il fatto che $det(A)!=0 => Ax=b$ ha una e una sola soluzione deriva dal fatto che se il determinante è diverso da $0$ allora il rango è massimo e quindi il sistema ha un'unica soluzione. Andrebbe dimostrato per bene ma l'idea è questa.

[fabiett1]

Chiedo scusa,cosa intendi quando dici che "il sistema lineare genera una sottovarietà lineare unidimensionale"?

[feddy]

Genera una retta