Dubbio esercizio di topologia.
Salve,non sono sicuro della soluzione di questo esercizio.
Sia $(X,\tau)$ un spazio topologico soddisfacente l'assioma di Hausdorff. Sia poi $\tau'$ un altra topologia su $X$ , strettamente più fine di $\tau$. Provare che lo spazio
topologico $(X,\tau')$ non può essere compatto.
La soluzione lo pensata cosi:
Sia $X$ l'insieme $[a,b]$ chiuso di $R$
Sia $\tau$ la topologia euclidea $\epsilon$ e $\tau'$ la topologia $j$ che ha per base $B= {(a,b]AA a,b inR } $ . Sappiamo che $(R,\epsilon)$ è di Hausdorff e $[a,b]$ è compatto.$\epsilon$ è meno fine di $j$. Invece $(R,\j)$ non è compatto perché il suo ricoprimento aperto ${(a+\frac{1}{n},b] } $ non ha sottoricoprimenti finiti.
Grazie in anticipo.
Sia $(X,\tau)$ un spazio topologico soddisfacente l'assioma di Hausdorff. Sia poi $\tau'$ un altra topologia su $X$ , strettamente più fine di $\tau$. Provare che lo spazio
topologico $(X,\tau')$ non può essere compatto.
La soluzione lo pensata cosi:
Sia $X$ l'insieme $[a,b]$ chiuso di $R$
Sia $\tau$ la topologia euclidea $\epsilon$ e $\tau'$ la topologia $j$ che ha per base $B= {(a,b]AA a,b inR } $ . Sappiamo che $(R,\epsilon)$ è di Hausdorff e $[a,b]$ è compatto.$\epsilon$ è meno fine di $j$. Invece $(R,\j)$ non è compatto perché il suo ricoprimento aperto ${(a+\frac{1}{n},b] } $ non ha sottoricoprimenti finiti.
Grazie in anticipo.
Risposte
Scusami, tu stai dicendo che $RR$ con la topologia euclidea è compatto?
Questo non è vero.
Questo non è vero.
Si, hai pienamente ragione. Quello che volevo dire è che $X$ è un intervallo $[a, b]$ chiuso di $R$. Comunque modificherò il messaggio di prima. Grazie dell'osservazione.
Ma $X$ è definito in quel modo anche nella richiesta dell'esercizio? Perché da quello che hai scritto il teorema sembrerebbe molto più generale e non è sufficiente fare ricorso ad un caso particolare.
"hubabuba":Devi dimostrare l'enunciato nella sua generalità, non in un caso particolare da te scelto
Sia $(X,\tau)$ un spazio topologico soddisfacente l'assioma di Hausdorff. Sia poi $\tau'$ un altra topologia su $X$ , strettamente più fine di $\tau$. Provare che lo spazio
topologico $(X,\tau')$ non può essere compatto.
La soluzione lo pensata cosi:
Sia $X$ l'insieme $[a,b]$ chiuso di $R$[...]
Bell'esercizio! Ti consiglio di prendere in considerazione la funzione identità [tex](X,\tau') \to (X,\tau)[/tex].
Grazie, per l'aiuto.
Ho costruito la funzione identità, che è continua. Supponiamo per assurdo che $(X,\tau')$ è compatto. Visto che $(X,\tau)$ è di Hausdorff la funzione identità è chiusa, biettiva, quindi è un omeomorfismo.
perciò $\tau'=\tau$ assurdo visto che $\tau'$ è strettamente più fine di $\tau$. Quindi $(X,\tau')$ non è compatto.
Ho costruito la funzione identità, che è continua. Supponiamo per assurdo che $(X,\tau')$ è compatto. Visto che $(X,\tau)$ è di Hausdorff la funzione identità è chiusa, biettiva, quindi è un omeomorfismo.
perciò $\tau'=\tau$ assurdo visto che $\tau'$ è strettamente più fine di $\tau$. Quindi $(X,\tau')$ non è compatto.
Corretto! 
Veramente un bell'esercizio!
Veramente un bell'esercizio!
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