Dubbio esercizio di geometria
Salve ragazzi, ho un problema con un esercizio di geometria, ovvero:
rappresentare la retta t del piano A: y-z=0 , parallela alla retta r, di equazioni (2x+y=0 e 2x+z-1=0).
Ora io so dalla traccia che il primo dei due piani costituenti la retta è dato dal piano A stesso, il problema è che non capisco come trovare il secondo piano.
Nel dubbio ho cercato di trovare i direttori di r (1,-2,-2) ma non ho proprio idea di come proseguire.
rappresentare la retta t del piano A: y-z=0 , parallela alla retta r, di equazioni (2x+y=0 e 2x+z-1=0).
Ora io so dalla traccia che il primo dei due piani costituenti la retta è dato dal piano A stesso, il problema è che non capisco come trovare il secondo piano.
Nel dubbio ho cercato di trovare i direttori di r (1,-2,-2) ma non ho proprio idea di come proseguire.
Risposte
Mi dispiace ma non capisco cosa tu stia cercando.
Devi trovare la retta contenuta nel piano A e parallela alla retta r?
Devi trovare la retta contenuta nel piano A e parallela alla retta r?
esattamente
gli unici dati a mia disposizione sono:
piano A di equazione: y-z=0
retta r di equazioni: 2x+y=0 e 2x+z-1=0
devo trovare l'equazione di una retta che contiene il piano A e che sia parallela ad r.
So che il primo piano della retta coincide col piano A, ma non riesco a capire come trovare l'equazione del secondo piano.
gli unici dati a mia disposizione sono:
piano A di equazione: y-z=0
retta r di equazioni: 2x+y=0 e 2x+z-1=0
devo trovare l'equazione di una retta che contiene il piano A e che sia parallela ad r.
So che il primo piano della retta coincide col piano A, ma non riesco a capire come trovare l'equazione del secondo piano.
La definizione di rette parallene in uno spazio affine $ A^n $ è la seguente:
siano L e L' due varietà lineari affini (le due rette), esse si dicono parallele se hanno la stessa giaciutura,
Nel tuo caso, le rette parallele a r e contenute in A sono infinite.
Se necessiti di una retta generale senza vincoli, scrivi la tua retta in forma vettoriale:
un punto qualsiasi appartenente al piano (un es. è l'asse delle origini (0,0,0) per cui A passa) + la direttrice della retta r.
Se invece devi trovarne una precisa, devi aggiungere gli altri vincoli, es passaggio per il punto/ distanza dalla retta ecc ecc
siano L e L' due varietà lineari affini (le due rette), esse si dicono parallele se hanno la stessa giaciutura,
Nel tuo caso, le rette parallele a r e contenute in A sono infinite.
Se necessiti di una retta generale senza vincoli, scrivi la tua retta in forma vettoriale:
un punto qualsiasi appartenente al piano (un es. è l'asse delle origini (0,0,0) per cui A passa) + la direttrice della retta r.
Se invece devi trovarne una precisa, devi aggiungere gli altri vincoli, es passaggio per il punto/ distanza dalla retta ecc ecc
dalla forma vettoriale puoi passare alla forma parametrica in un lampo, semplicemente leggendo le componenti del punto e della direttrice per x,y,z.
Per passare alla forma cartesiana (intersezione di due piani), poni semplicemente uno dei tre componenti (x,y,z a piacere) = t, e sviluppi le altre due equazioni in funzione di questo parametro. E i giochi sono fatti!
Per passare alla forma cartesiana (intersezione di due piani), poni semplicemente uno dei tre componenti (x,y,z a piacere) = t, e sviluppi le altre due equazioni in funzione di questo parametro. E i giochi sono fatti!
seguendo il tuo consiglio mi trovo con una retta di equazioni: 2x+y=0 e 2x+z=0.
il problema però è che essendo la retta da trovare contenuta in A, credo che necessariamente uno dei due piani debba coincidere con A (anche la soluzione indica che uno dei due piani è A).
Spero di essere stato chiaro.
il problema però è che essendo la retta da trovare contenuta in A, credo che necessariamente uno dei due piani debba coincidere con A (anche la soluzione indica che uno dei due piani è A).
Spero di essere stato chiaro.
A me è venuto.
Allora trovati i direttori di r = (1,-2,-2), ho riscritto la nostra equazione vettoriale come
$ w = (0,0,0) + u(1,-2,-2) $
scriviamo il sistema composto dalle equazioni:
1) x = u
2) y = -2u
3) z = -2u
trasformi la 1) in 2x = 2u e sostituisci la 3).
in questo modo ottieni come prima A) 2x +z = 0, come seconda B) y-z = 0, che è il tuo piano A
Messi a sistema A) e B) ti danno l'equazione della retta parallela a r, contenuta in A da te cercata!
Allora trovati i direttori di r = (1,-2,-2), ho riscritto la nostra equazione vettoriale come
$ w = (0,0,0) + u(1,-2,-2) $
scriviamo il sistema composto dalle equazioni:
1) x = u
2) y = -2u
3) z = -2u
trasformi la 1) in 2x = 2u e sostituisci la 3).
in questo modo ottieni come prima A) 2x +z = 0, come seconda B) y-z = 0, che è il tuo piano A
Messi a sistema A) e B) ti danno l'equazione della retta parallela a r, contenuta in A da te cercata!
hai ragione, effettivamente avevo fatto proprio il tuo sistema, ma avevo sostituito in modo diverso.
solo una cosa non mi è chiara, perchè abbiamo usato l'origine? sarebbe andato bene un qualsiasi punto di r?
solo una cosa non mi è chiara, perchè abbiamo usato l'origine? sarebbe andato bene un qualsiasi punto di r?
sarebbe andato bene qualsiasi altro punto di A!
tu stai cercando la retta w, parallela a r e contenuta in A
se mettevi un punto di r, l'equazione vettoriale ti tornava r.
Una retta è definitiva come la somma tra il punto e la direttrice:
1.1 $ r = (x,y,z) + u(a,b,c) $
con x,y,z coordinate di un punto e a,b,c direzioni del vettore, ovvero la direttrice.
Se tu prendevi un punto generico di r, stavi semplicemente ri-descrivendo r sotto un'altra "luce", che comunque ti avrebbe ritornato l'equazione che hai adesso (provare per credere ;D)
Tu stai cercando la retta parallela a r e CONTENUTA in un piano, che sai essere parallelo a r.
Contenuta significa che ogni punto di r appartiene anche ad A.
Quindi porrai un punto generico di A nell'equazione vettoriale 1.1, con le direttrici di r: in questo modo poni il parallelismo tra r e la tua w cercata!
Abbiamo scelto il punto generico di A (0,0,0) perchè semplicemente semplifica i conti, ma puoi scegliere un qualunque punto di A!
tu stai cercando la retta w, parallela a r e contenuta in A
se mettevi un punto di r, l'equazione vettoriale ti tornava r.
Una retta è definitiva come la somma tra il punto e la direttrice:
1.1 $ r = (x,y,z) + u(a,b,c) $
con x,y,z coordinate di un punto e a,b,c direzioni del vettore, ovvero la direttrice.
Se tu prendevi un punto generico di r, stavi semplicemente ri-descrivendo r sotto un'altra "luce", che comunque ti avrebbe ritornato l'equazione che hai adesso (provare per credere ;D)
Tu stai cercando la retta parallela a r e CONTENUTA in un piano, che sai essere parallelo a r.
Contenuta significa che ogni punto di r appartiene anche ad A.
Quindi porrai un punto generico di A nell'equazione vettoriale 1.1, con le direttrici di r: in questo modo poni il parallelismo tra r e la tua w cercata!
Abbiamo scelto il punto generico di A (0,0,0) perchè semplicemente semplifica i conti, ma puoi scegliere un qualunque punto di A!
ah ok credo di aver capito.
il problema è che il punto (0,1,1) che dovrebbe appartenere ad A, mi fa uscire una retta di equazioni: y-z=0 e 2x+z-1=0, mentre la seconda equazione dovrebbe essere 2x+y=0.
il problema è che il punto (0,1,1) che dovrebbe appartenere ad A, mi fa uscire una retta di equazioni: y-z=0 e 2x+z-1=0, mentre la seconda equazione dovrebbe essere 2x+y=0.
Questo è il discorso di prima.
Esistono INFINITE rette parallele a r contenute in A!
Per cui, in dipendenza dal punto per cui decidi di farle passare la tua retta w, ci sarà un'equazione diversa:
ogni retta diversa da un'altra è descritta da un'equazione differente.
E' convenzione, in questi casi, far partire la retta dal punto più facile e più generico possibile: ecosa meglio dell'origine?
Quindi, anche l'equazione descritta da te è contenuta in A e parallela a r, quindi è CORRETTA, solamente che non passa per l'origine ma passa per (0,1,1)
Ricorda solo che è convenzione, quando possibile, far passare la tua retta per l'asse delle origini, in quanto ti da l'equazione "più generale" possibile (passami il termine!)
Esistono INFINITE rette parallele a r contenute in A!
Per cui, in dipendenza dal punto per cui decidi di farle passare la tua retta w, ci sarà un'equazione diversa:
ogni retta diversa da un'altra è descritta da un'equazione differente.
E' convenzione, in questi casi, far partire la retta dal punto più facile e più generico possibile: ecosa meglio dell'origine?
Quindi, anche l'equazione descritta da te è contenuta in A e parallela a r, quindi è CORRETTA, solamente che non passa per l'origine ma passa per (0,1,1)
Ricorda solo che è convenzione, quando possibile, far passare la tua retta per l'asse delle origini, in quanto ti da l'equazione "più generale" possibile (passami il termine!)
ah ok, grazie mille per l'aiuto e per la chiarezza!
figurati! stame ben!!
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