Dubbio equazioni e basi di un sottospazio
Salve a tutti!
Ho un piccolo dubbio che vorrei assolutamente levarmi su come trovare (se si puo') le equazioni e basi di un sottospazio in questo caso:
se ho ad esempio il sottospazio di $M_2(R)$ i cui vettori sono le 4 colonne della matrice, devo determinare dimensione, base ed equazioni
$((1,-1,2,-2),(0,0,-3,0),(-1,-2,-2,-1),(1,2,-4,-2))$
la dimensione è Proprio 4
Una base potrebbero essere i quattro vettori?
E le equazioni come posso ricavarle se non ci sono parametri liberi?
Grazie a tutti!!
Ho un piccolo dubbio che vorrei assolutamente levarmi su come trovare (se si puo') le equazioni e basi di un sottospazio in questo caso:
se ho ad esempio il sottospazio di $M_2(R)$ i cui vettori sono le 4 colonne della matrice, devo determinare dimensione, base ed equazioni
$((1,-1,2,-2),(0,0,-3,0),(-1,-2,-2,-1),(1,2,-4,-2))$
la dimensione è Proprio 4
Una base potrebbero essere i quattro vettori?
E le equazioni come posso ricavarle se non ci sono parametri liberi?
Grazie a tutti!!
Risposte
penso che tu debba fare la trasposta di quella matrice e ridurre (visto che cerchi le basi del sottospazio vettoriale delle colonne)
"FiorediLoto":
Salve a tutti!
Ho un piccolo dubbio che vorrei assolutamente levarmi su come trovare (se si puo') le equazioni e basi di un sottospazio in questo caso:
se ho ad esempio il sottospazio di $M_2(R)$ i cui vettori sono le 4 colonne della matrice, devo determinare dimensione, base ed equazioni
$((1,-1,2,-2),(0,0,-3,0),(-1,-2,-2,-1),(1,2,-4,-2))$
la dimensione è Proprio 4
Una base potrebbero essere i quattro vettori?
E le equazioni come posso ricavarle se non ci sono parametri liberi?
Grazie a tutti!!
Prima di tutto:
come hai fatto ad affermare che la dimensione è 4?
"misanino":
Prima di tutto:
come hai fatto ad affermare che la dimensione è 4?
Perchè il rango della matrice è 4!
"Sergio":
Scusate se mi intrometto, ma vorrei capire cosa si intende per $M_2(R)$.
$M_2(R)$ è lo spazio delle matrici $2x2$
"FiorediLoto":
[quote="misanino"]
Prima di tutto:
come hai fatto ad affermare che la dimensione è 4?
Perchè il rango della matrice è 4![/quote]
Bene. Risposta corretta.
Allora puoi sicuramente concludere che le colonne della tua matrice sono una base.
Però una base di $RR^4$ dato che sono vettori di $RR^4$, mentre le matrici 2x2 non c'entrano assolutamente nulla!
"misanino":
[quote="FiorediLoto"][quote="misanino"]
Prima di tutto:
come hai fatto ad affermare che la dimensione è 4?
Perchè il rango della matrice è 4![/quote]
Bene. Risposta corretta.
Allora puoi sicuramente concludere che le colonne della tua matrice sono una base.
Però una base di $RR^4$ dato che sono vettori di $RR^4$, mentre le matrici 2x2 non c'entrano assolutamente nulla![/quote]
Allora è sbagliata la traccia del mio esercizio!
grazie!
e le equazioni come posso trovarle?
moltiplico la matrice per un generico vettore (x,y,z,w) o il mio ragionamento è sbagliato?
"FiorediLoto":
e le equazioni come posso trovarle?
moltiplico la matrice per un generico vettore (x,y,z,w) o il mio ragionamento è sbagliato?
Dato che hai una base di 4 vettori in $RR^4$ non puoi scrivere le equazioni, perchè sarebbe come dire che vuoi scrivere le equazioni di $RR^4$.
E come si può scrivere $RR^4$ in equazioni cartesiane?
Invece se vuoi scrivere $RR^4$ in equazioni parametriche puoi banalmente fare:
$RR^4=(alpha,beta,gamma,delta) \ | \ alpha,beta,gamma,delta\inRR$
"Sergio":
FiorediLoto, la proprietà di linguaggio è importante!
Parole sante
"Sergio":
Ho poi un sottospazio generato dalle matrici di coordinate $(1,-1,2,-2),(0,0,-3,0),(-1,-2,-2,-1),(1,2,-4,-2)$, cioè dalle matrici:
${((1,-1),(2,-2))","((0,0),(-3,0))","((-1,-2),(-2,-1))","((1,2),(-4,-2))}$ ecc.
Potrebbe anche essere così, però è un testo che si presta a interpretazioni sbagliate.
Ad esempio, tu hai interpretato che òla matrice di coordinate $(1,-1,2,-2)$ sia $((1,-1),(2,-2))$.
Potrebbe però anche essere $((1,2),(-1,-2))$.
Insomma io credo che l'esercizio sia ambiguo, oppure che Fiorediloto abbia copiato o trascritto male qui il testo
In effetti devo ancora imparare ad esprimermi meglio 
Quindi passando al caso generale, se ci fossero invece tre vettori in $R^3$ di un sottospazio di dimensione 3, le basi anche in questo caso sono proprio quei vettori che hanno generato il sottospazio e le equazioni non possono essere scritte? O il ragionamento riguardava solo nel caso di uno spazio $R^4$? Spero di essere stata abbastanza chiara..
Grazie!
Quindi passando al caso generale, se ci fossero invece tre vettori in $R^3$ di un sottospazio di dimensione 3, le basi anche in questo caso sono proprio quei vettori che hanno generato il sottospazio e le equazioni non possono essere scritte? O il ragionamento riguardava solo nel caso di uno spazio $R^4$? Spero di essere stata abbastanza chiara..
Grazie!
"Sergio":
[quote="misanino"]Potrebbe anche essere così, però è un testo che si presta a interpretazioni sbagliate.
Quale testo? Quello di FiorediLoto (che spero mi perdoni per questo...) più che ambiguo è privo di senso.
Mi pare molto probabile (almeno) che il vero testo non lasci spazio ad ambiguità.[/quote]
Beh, dai, non volevo essere così cattivo...
Comunque credo anch'io che sia molto meglio se fiorediloto posta il testo completo e originale dell'esercizio
L'esercizio l'ho scritto un po' di fretta perchè, più che i calcoli, mi interessava sapere, in linea generale, se per un sottospazio di $R^n$ nel caso abbia dimensione proprio uguale a $n$, è possibile scrivere le equazioni e se si in che modo, per la questione delle basi ho capito perfettamente e quindi vi ringrazio!!
Spero mi perdonerete la disattenzione per la scrittura del testo..
grazie ancora
Spero mi perdonerete la disattenzione per la scrittura del testo..
grazie ancora
"Sergio":
[quote="misanino"]Beh, dai, non volevo essere così cattivo...
Io sono un angioletto!
Proprio per questo mi preoccupo: hai idea di quante persone ho visto franare miseramente all'orare per improprietà di linguaggio anche meno gravi?
E un prof che conosco (e a cui non riesco assolutamente a dare torto: te ne accorgerai se leggerai la mia "algebra lineare for dummies") è come un avvoltoio: pronto a piombare su chi confonde vettori come elementi di uno spazio vettoriale e vettori di coordinate. Una confusione che porta a errori tanti catastrofici quanto banali nella risoluzione degli esercizi.
Vorrei che FiorediLoto "non scantonasse" e che scrivesse la traccia completa dell'esercizio, virgole comprese. Le sarà utile per l'esame. Non trovi?[/quote]
Assolutamente sì.
Purtroppo spesso chi non ha una buona mentalità matematica tende a confondere il tutto senza mettere i puntini sulle i (che invece in matematica sono assolutamente necessari)!!
Io infatti stavo scherzando nel dirti che sei cattivo
Tornando all'esercizio.
Se la richiesta riguardava un sottospazio di $RR^4$ invece che di $M_2(RR)$ allora è stato svolto in modo corretto.
Altrimenti, ovviamente, è tutto da reimpostare
Allora riscrivo il testo:
si considerino i seguenti vettori di $M_2(R)$
$u_1=((1,0),(-1,1))$
$u_2=((-1,0),(-2,2))$
$u_3=((2,-3),(-2,-4))$
$u_4=((-2,0),(-1,-2))$
posto $U=L(u_1,u_2,u_3,u_4)$
trovare dimensione base ed equazioni
si considerino i seguenti vettori di $M_2(R)$
$u_1=((1,0),(-1,1))$
$u_2=((-1,0),(-2,2))$
$u_3=((2,-3),(-2,-4))$
$u_4=((-2,0),(-1,-2))$
posto $U=L(u_1,u_2,u_3,u_4)$
trovare dimensione base ed equazioni
la dimensione è 4 perchè il rango è 4,
una base puo' essere formata proprio da $u_1,u_2,u_3,u_4$?
E queste benedette equazioni si possono trovare o no?
una base puo' essere formata proprio da $u_1,u_2,u_3,u_4$?
E queste benedette equazioni si possono trovare o no?
"FiorediLoto":
la dimensione è 4 perchè il rango è 4,
una base puo' essere formata proprio da $u_1,u_2,u_3,u_4$?
E queste benedette equazioni si possono trovare o no?
Giusta la rsiposta 1.
Giusta la risposta 2.
Per la terza puoi dire che lo spazio generate da esse è l'insieme della matrici:
$((x,y),(z,t))=au_1+bu_2+cu_3+du_4=a*((1,0),(-1,1))+b*((-1,0),(-2,2))+c*((2,-3),(-2,-4))+d*((-2,0),(-1,-2))$ con $a,b,c,d\inRR$
Ti puoi però anche accorgere che lo spazio della matrici 2x2 ha dimensione 4 e quindi dato che tu hai un'insieme di 4 matrici linearmente indipendenti ($u_1,u_2,u_3,u_4$) lo spazio da esse generato è tutto $M_2(RR)$
Grazie Sergio,
quello che mi preme sapere come ultima cosa è se questo ragionamento vale per tutti i casi, se invece di $R^4$ avessimo avuto ad esempio $R^3$ sarebbe stato quindi lo stesso? Vorrei saperlo come ultima conferma, grazie mille!
quello che mi preme sapere come ultima cosa è se questo ragionamento vale per tutti i casi, se invece di $R^4$ avessimo avuto ad esempio $R^3$ sarebbe stato quindi lo stesso? Vorrei saperlo come ultima conferma, grazie mille!
Perfetto, grazie mille! 
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