Dubbio equazione immagine di un' applicazione lineare
Vi prego è davvero importante avere il vostro aiuto.
Ho questa applicazione, pagina 38 primo esercizio:
http://www.dmi.unict.it/~gquattro/quatt ... emente.pdf
La matrice associata alla f dovrebbe essere:
[tex]\begin{pmatrix}
1 &0 &2 \\
h+2&h &h+2 \\
h+2& 0 &h+1
\end{pmatrix}[/tex]
Effettuo le seguenti riduzioni:
[tex]R_3=R_2-R_3[/tex]
[tex]R_2=(h+2)R_1-R_2[/tex]
[tex]R_3=R_2+R_3[/tex] ottenendo:
[tex]\begin{pmatrix}
1 &0 &2 \\
0&-h &h+2 \\
0& 0 &h+3
\end{pmatrix}[/tex]
Dovrei studiare 3 casi: [tex]h=-3,h=0[/tex] e [tex]h[/tex] diverso da quei due valori.
Nel primo caso la dimensione di Imf è 2 e di Kerf è 1.
Il nucleo avrà equazione [tex]\left\{\begin{matrix}
x=-6y\\
z=3y\end{matrix}\right.[/tex]
Per l' immagine dovrebbe essere [tex]Imf=Span{(1,h+2,h+2),(0,h,0)}[/tex]
Cioè anche se considero che h=-3 devo riportare i vettori della matrice di partenza con h non con -3 giusto?
Se ora devo calcolare l' equazione di Imf, devo prendere i vettori [tex](1,h+2,h+2),(0,h,0)[/tex] e fare:
[tex]\alpha(1,h+2,h+2)+\beta(0,h,0)=(x,y,z)[/tex] ? Mantenendo h parametro oppure uguale a -3?
Io l' ho mantenuto generico e non so come vada fatto....l' equazione che ho trovato è [tex]x(h+2)-z=0[/tex]
Devo continuare così per tutti gli altri casi giusto?
E poi se [tex]Imf=R^3[/tex] avrò che la dimensione è 3, quella del nucleo è 0, allora l' equazione del nucleo sarà [tex]x=y=z=0[/tex]?
Per l' immagine in questo caso come trovo l' equazione? Sempre allo stesso modo?
Ho questa applicazione, pagina 38 primo esercizio:
http://www.dmi.unict.it/~gquattro/quatt ... emente.pdf
La matrice associata alla f dovrebbe essere:
[tex]\begin{pmatrix}
1 &0 &2 \\
h+2&h &h+2 \\
h+2& 0 &h+1
\end{pmatrix}[/tex]
Effettuo le seguenti riduzioni:
[tex]R_3=R_2-R_3[/tex]
[tex]R_2=(h+2)R_1-R_2[/tex]
[tex]R_3=R_2+R_3[/tex] ottenendo:
[tex]\begin{pmatrix}
1 &0 &2 \\
0&-h &h+2 \\
0& 0 &h+3
\end{pmatrix}[/tex]
Dovrei studiare 3 casi: [tex]h=-3,h=0[/tex] e [tex]h[/tex] diverso da quei due valori.
Nel primo caso la dimensione di Imf è 2 e di Kerf è 1.
Il nucleo avrà equazione [tex]\left\{\begin{matrix}
x=-6y\\
z=3y\end{matrix}\right.[/tex]
Per l' immagine dovrebbe essere [tex]Imf=Span{(1,h+2,h+2),(0,h,0)}[/tex]
Cioè anche se considero che h=-3 devo riportare i vettori della matrice di partenza con h non con -3 giusto?
Se ora devo calcolare l' equazione di Imf, devo prendere i vettori [tex](1,h+2,h+2),(0,h,0)[/tex] e fare:
[tex]\alpha(1,h+2,h+2)+\beta(0,h,0)=(x,y,z)[/tex] ? Mantenendo h parametro oppure uguale a -3?
Io l' ho mantenuto generico e non so come vada fatto....l' equazione che ho trovato è [tex]x(h+2)-z=0[/tex]
Devo continuare così per tutti gli altri casi giusto?
E poi se [tex]Imf=R^3[/tex] avrò che la dimensione è 3, quella del nucleo è 0, allora l' equazione del nucleo sarà [tex]x=y=z=0[/tex]?
Per l' immagine in questo caso come trovo l' equazione? Sempre allo stesso modo?
Risposte
Si quando dice di studiare un certo sistema o un applicazione lineare al variare di un parametro, devi mettere il valore del parametro, nel tuo caso $h=-3$ nella matrice e vedere cosa succede, cioè studiare nucleo e immagine.
Si..ma ho un dubbio, dopo avere sostituito il valore nella matrice io trovo il rango della matrice e le soluzioni del sistema mi danno kerf, invece l' immagine la trovo considerando nella matrice di partenza le colonne che corrispondono a quelle che nella matrice ridotta contengono gli elementi speciali. Giusto?
Ora vengono i dubbi. Quando trovo una base di Kerf so come fare, l' immagine invece è data dallo Span(v1,v2) ad esempio, ma i vettori li devo prendere sempre dalla matrice di partenza copiando h? quindi avrò ad esempio [tex]Imf=Span(1,h+2,h+2),....[/tex] Oppure devo sostituire il valore di h che è -3 ad esempio e diventa:
[tex]Imf=Span(1,-1,-1),....[/tex]?
E per studiare l' equazione dell' immagine, devo prendere sempre i vettori generici con h generico anche se so quanto vale? Oppure metto -3 al suo posto e continuo a studiare l' equazione?
Ora vengono i dubbi. Quando trovo una base di Kerf so come fare, l' immagine invece è data dallo Span(v1,v2) ad esempio, ma i vettori li devo prendere sempre dalla matrice di partenza copiando h? quindi avrò ad esempio [tex]Imf=Span(1,h+2,h+2),....[/tex] Oppure devo sostituire il valore di h che è -3 ad esempio e diventa:
[tex]Imf=Span(1,-1,-1),....[/tex]?
E per studiare l' equazione dell' immagine, devo prendere sempre i vettori generici con h generico anche se so quanto vale? Oppure metto -3 al suo posto e continuo a studiare l' equazione?
Si il procedimento è questo, anche se io ti consiglio una cosa: una volta trovati i valori dei parametri, nel nostro caso $h=-3,h=0$, prendili singolarmente e fai conto di iniziare un nuovo esercizio in cui al posto di h metti -3. In questo modo avremo
$f: RR^3->RR^3$ rappresentato dalla seguente matrice $ A=( ( 1 , 0 , 2 ),( -1 , -3 , -1 ),( -1 , 0 , -2 ) ) $
E ora studiando il determinante ci rendiamo conto che $rgA=2 => dimImf=2 => Imf=Span(1,-1,-1),(0,-3,0)$, poi ti calcoli le equazioni e poi passiamo al Kerf che dalle considerazioni che anche tu hai fatto sarà generato dal vettore (-6,1,3). Chiaro?!
$f: RR^3->RR^3$ rappresentato dalla seguente matrice $ A=( ( 1 , 0 , 2 ),( -1 , -3 , -1 ),( -1 , 0 , -2 ) ) $
E ora studiando il determinante ci rendiamo conto che $rgA=2 => dimImf=2 => Imf=Span(1,-1,-1),(0,-3,0)$, poi ti calcoli le equazioni e poi passiamo al Kerf che dalle considerazioni che anche tu hai fatto sarà generato dal vettore (-6,1,3). Chiaro?!
ok allora sostituisco h e continuo lo lascio dopo aver trattato i vari casi di h afferrato
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