Dubbio dimostrazione suriettività di un isomorfismo

[emina90-votailprof]

Salve a tutti..scusate la domanda che forse vi sembrerà stupida, ma non riesco a dimostare la suriettività dell'isomorfismo che va dall'insieme delle applicazioni lineari L(V,W) all'insieme delle matrici M mxn.
Grazie mille in anticipo

[mistake89]

Vuoi dimostrare che sono isomorfi no?
Se hai dimostrato che è ingettivo hai finito... per il teorema della dimensione di un'applicazione lineare.

[emina90-votailprof]

Ho dimostrato che è un'applicazione lineare e che è iniettiva. Ma non so come dimostrare la suriettività perchè non conosco la dimensione del dominio e non posso sfruttare l'equazione dimensionale. So che la dimensione del dominio è mXn solo dopo che ho dimostrato la suriettività. non so se mi sono spiegata..scusami

[mistake89]

come non conosci la dimensione del dominio... Deve essere per forza uguale a quella del codominio altrimenti provi a costruire un isomorfismo che non esiste. Devi provare che la dimensione del codominio e quella dell'immagine del dominio coincidano. Ma le due dimensioni sono ben note.

[cirasa]

Naturalmente l'applicazione dovrebbe essere quella che associa ad ogni omomorfismo di spazi vettoriali la matrice associata rispetto a due basi fissate, una di $V$ e una di $W$.
Per provare che è suriettiva devi provare che per ogni matrice $m\times n$ esiste un'applicazione lineare $f_A:V\to W$ che ha matrice associata $A$.
Quale può essere questa applicazione $f_A$?

Tu hai qualche idea? O quali tentativi hai fatto?

[emina90-votailprof]

Non so..il professore ha considerato questa applicazione e vogliamo sapere se è un isomorfismo, quindi non ne siamo ancora certi. Infatti vogliamo dimostrare che è bigettiva. Il prof. nelle dispense scrive:

Mostriamo la suriettività di F . Data A = (aij) 2 Mmxn(R) basta
defnire f come l'unica applicazione lineare tale che per ogni j si abbia f(ej) = $\sum_{i=1}^N aij hi$

[cirasa]

Bene. Data $A$, si può definire l'applicazione $f$ sugli elementi della base $\{e_1,...,e_n\}$ di $V$ (e quindi su tutti gli elementi di $V$) come hai fatto tu.
Ora devi provare che
1) $f$ è lineare, cioè $f\in L(V,W)$;
2) $F(f)=A$.
Avrai così provato che per ogni $A\in M_{m,n}$ esiste $f\in L(V,W)$ tale che $F(f)=A$, cioè $F$ è surgettiva.

Completa tu provando 1) e 2).