Dubbio Dimensioni Sottospazi Vettoriali
Sera , ho il seguente esercizio:
In $R^6$ si considerino i sottospazi vettoriali $W_1$ di dimensione 4 e $W_2$ di dimensione 2, si determinino tutte le possibili dimensioni di $W1 + W2 $ e di$ W1 ∩ W2 $.
Per svolgere questo esercizio, prendo come riferimento la Formula di Grassmann ovvero : $dim(W_1+W_2)=dim(W_1)+dim(W_2)-dim(W_1 nn W_2)$
Lavoro sulla $dim(W_1+W_2)$ tale che: se $dim(W_1+W_2)=6$(caso massimo) ,dove $W_1+W_2$ è la somma di tutti i vettori della base $W_1$ e $W_2$,allora la $dim( W1 ∩ W2 )=0$ ( in questo caso si avrà la somma diretta , come informazione aggiuntiva e sono anche supplementari $W_1$ e $W_2$ );
Nel caso in cui $dim(W_1+W_2)=5$ , quindi un vettore, dei due , della base $W_2$ sicuramente si può scrivere come combinazione lineare dei vettori della base di $W_1$ allora il valore della $dim( W1 ∩ W2 )=1$;
Ultimo caso: $dim(W_1+W_2)=4$ dove i vettori di $W_2$ si possono scrivere come combinazione lineare dei vettori lin. indipendenti della base $W_1$ allora la $dim( W1 ∩ W2 )=2$
Siete d'accordo con quanto scritto? Altrimenti, dove ho sbagliato?
grazie mille e buona serata!
In $R^6$ si considerino i sottospazi vettoriali $W_1$ di dimensione 4 e $W_2$ di dimensione 2, si determinino tutte le possibili dimensioni di $W1 + W2 $ e di$ W1 ∩ W2 $.
Per svolgere questo esercizio, prendo come riferimento la Formula di Grassmann ovvero : $dim(W_1+W_2)=dim(W_1)+dim(W_2)-dim(W_1 nn W_2)$
Lavoro sulla $dim(W_1+W_2)$ tale che: se $dim(W_1+W_2)=6$(caso massimo) ,dove $W_1+W_2$ è la somma di tutti i vettori della base $W_1$ e $W_2$,allora la $dim( W1 ∩ W2 )=0$ ( in questo caso si avrà la somma diretta , come informazione aggiuntiva e sono anche supplementari $W_1$ e $W_2$ );
Nel caso in cui $dim(W_1+W_2)=5$ , quindi un vettore, dei due , della base $W_2$ sicuramente si può scrivere come combinazione lineare dei vettori della base di $W_1$ allora il valore della $dim( W1 ∩ W2 )=1$;
Ultimo caso: $dim(W_1+W_2)=4$ dove i vettori di $W_2$ si possono scrivere come combinazione lineare dei vettori lin. indipendenti della base $W_1$ allora la $dim( W1 ∩ W2 )=2$
Siete d'accordo con quanto scritto? Altrimenti, dove ho sbagliato?
grazie mille e buona serata!
Risposte
Qualcuno che possa aiutarmi?
nessuno nessuno?
Ciao,
La dimensione (detto spartanamente) è data dal numero di vettori linearmente indipendenti che sono presenti in un insieme.
Quindi la dimensione di quel sottospazio $W_1+W_2$ potrebbe anche essere $<=6$
Quindi per determinare la somma $W_1$ , $W_2$, dovrai determinare una base di $W_1+W_2$.
Invece per determinare l'intersezione dei due dovrai mettere a sistema, quindi vedere quali elementi di $W_1=W_2$.
Comunque si, è corretto utilizzare la formula di Grassmann.
Oltretutto, una volta trovata una dimensione, te troverai UNA base di somma o intersezione. Poiché potrebbe verificarsi il caso che più di 1,2,... vettori siano linearmente indipendenti (ovviamente in base a questo cambierà anche la dimensione dell'insieme).
La dimensione (detto spartanamente) è data dal numero di vettori linearmente indipendenti che sono presenti in un insieme.
Quindi la dimensione di quel sottospazio $W_1+W_2$ potrebbe anche essere $<=6$
Quindi per determinare la somma $W_1$ , $W_2$, dovrai determinare una base di $W_1+W_2$.
Invece per determinare l'intersezione dei due dovrai mettere a sistema, quindi vedere quali elementi di $W_1=W_2$.
Comunque si, è corretto utilizzare la formula di Grassmann.
Oltretutto, una volta trovata una dimensione, te troverai UNA base di somma o intersezione. Poiché potrebbe verificarsi il caso che più di 1,2,... vettori siano linearmente indipendenti (ovviamente in base a questo cambierà anche la dimensione dell'insieme).
mdonatie grazie mille per la risposta! Proprio oggi mi sono confrontato con la professoressa che ha sostenuto di aver avuto l'intuizione corretta. Grazie mille nuovamente.
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