Dubbio diagonalizzazione matrice

[cianfa72]

Ciao e buon anno !

Un dubbio di algebra lineare. Per diagonalizzare la matrice quadrata $A$ abbiamo bisogno di calcolare gli autovalori e gli autovettori. Supponiamo di aver trovato una base di autovettori: detta $P$ la matrice le cui colonne sono gli autovettori di $A$ abbiamo:

$A = P^(-1)DP$

con D la matrice diagonale degli autovalori ognuno con la sua molteplicità.

Ora se considero la matrice $G = PK$ con $K$ matrice diagonale con elementi non nulli, di fatto sto considerando gli stessi autovettori moltiplicati ciascuno per un coefficiente non nullo.

In questa base di autovettori A si scrive $A = G^(-1)DG$. Ora se svolgo i calcoli sostituendo $G$ con $PK$ mi ritrovo con $A = K^(-1)AK$ che non mi sembra sia un identita'

Dove sbaglio ? grazie

[solaàl]

\(A\) è una matrice di \(f :V\to V\) in una certa base; \(D\) nella base di autovettori; \(A' = K^{1}AK\) in un'altra base (quella dove hai riscalato i vettori di un certa quantità). Dov'è il problema?

Il problema è che stai confondendo \(A\), che dipende da una base, con l'endomorfismo \(f\) che vuoi diagonalizzare!

[cianfa72]

"solaàl":\(A\) è una matrice di \(f :V\to V\) in una certa base;

In realta' penso di aver invertito l'ordine delle matrici coinvolte. La versione corretta è $D = P^(-1)AP$ con $P$ le cui colonne sono le coordinate degli autovettori di $f$ nella base fissata (per es la base canonica)

Da cui si ha $A = PDP^(-1)$

Ora anche le colonne di $G = PK$ sono le coordinate di autovettori nella base fissata per cui $A = GDG^(-1)$; sostituendo ora $PK$ in luogo di $G$ si ottiene:

$GDG^(-1) = PKD(PK)^(-1) = PKDK^(-1)P^(-1)$

ma essendo K e D diagonali $KDK^(-1) = D$ e quindi si ritrova come atteso $A = PDP^(-1)$

Vi torna ?

[cianfa72]

"Sergio":Puoi quindi scegliere le colonne di $P$ come le hai scelte, ma avresti anche potuto scegliere loro multipli; ad esempio, se una colonna di $P$ fosse $(2,0,1/2)$ avresti potuto anche scegliere $(4,0,1)$ o $(1,0,1/4)$ e non sarebbe cambiato nulla. Introdurre la matrice $G$ mi sembra solo un modo un po' complicato per scegliere in modo diverso le basi degli autospazi.

Assolutamente si, usare la matrice $G = PK$ era solo un modo per scegliere un'altra base di autovettori a partire dalle colonne di $P$. L'equivoco iniziale era solo dovuto ad una mia erronea scrittura della decomposizione della matrice $A$