Dubbio determinazione intersezione sottospazi

[comariob]

Salve a tutti, ho un dubbio relativo al calcolo della somma e intersezione di due sottospazi espressi sottoforma vettoriale e relative basi.

Dunque, ho i due sottospazi espressi da

$H= ( (1), (2),(0), (1) ) $ $ ( (0), (-2),(-4), (1) ) $ $ ( (2), (2),(-4), (3) ) $ e $K= ( (1), (0),(-4), (-2) ) $ $ ( (0), (0),(-2), (1) ) $

Calcolo in primo luogo le basi di H e K
$BH= ( (1), (2),(0), (1) ) $ $ ( (0), (-2),(-4), (1) ) $ $BK= ( (1), (0),(-4), (-2) ) $ $ ( (0), (0),(-2), (1) ) $
(Perchè i vettori sono linearmente indipendenti)

Calcolo la Somma accostando i vettori generatori per H e K nella matrice
$ [ ( 1 , 2 , 0 , 1 ),( 0 , -2 , -4 , 1 ),( 1 , 0 , -4 , -2 ),( 0 , 0 , -2 , 1 ) ] $

Anche qui, ho 4 vettori linearmente indipendenti, quindi la dimensione H+K sarà uguale a 4 e una base per la somma dei sottospazi sarà data proprio dai suddetti vettori.

Il dubbio sta qui, nel calcolo dell'interserzione.

La regola dice che
$ dim(Hnn K)=dim(H)+dim(K)-dim(H+K)=0 $

Quindi il solo vettore nullo è base per l'intersezione.

Però, se applicassi il metodo del sistema lineare per determinare la base $B(Hnn K)$
$ B(Hnn K)=a1( (1), (2),(0),(1) )+a2( (0),(-2),(-4),(1))=b1((1),(0),(4),(2))+b2((0),(0),(-2),(1)) $

Otterrei, dopo vari passaggi, un sistema lineare ad una variabile libera b1, ed una base data da $ ( (1), (1),(-4),(1) ) $ .

Non capisco quale delle due interpretazioni è corretta e, qualora fosse la prima, capire quando dovrei applicare il metodo del sistema lineare.

Grazie.

[billyballo2123]

"NapoNiubbo":Dunque, ho i due sottospazi espressi da
\[
H=
\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
0 \\
1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 \\
-2 \\
-4 \\
1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
2 \\
2 \\
-4 \\
3
\end{bmatrix}
\qquad \text{e} \qquad K=
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
-4 \\
-2
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
-2 \\
1
\end{bmatrix}
\]
Calcolo in primo luogo le basi di $H$ e $K$
\[
BH=
\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
0 \\
1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 \\
-2 \\
-4 \\
1
\end{bmatrix}
BK=
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
4 \\
-2
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
-2 \\
1
\end{bmatrix}
\]

Nel primo vettore della base di $K$ hai scritto $4$ anziché $-4$.

"NapoNiubbo":
Calcolo la Somma accostando i vettori generatori per H e K nella matrice
$ [ ( 1 , 2 , 0 , 1 ),( 0 , -2 , -4 , 1 ),( 1 , 0 , 4 , 2 ),( 0 , 0 , -2 , 1 ) ] $

Anche qui, ho 4 vettori linearmente indipendenti, quindi la dimensione H+K sarà uguale a 4 e una base per la somma dei sottospazi sarà data proprio dai suddetti vettori.

Hai sbagliato ancora la terza riga: ora hai tolto il segno meno anche al $2$. La riga corretta è $(1,0,-4,-2)$.

[comariob]

Hai ragione, ho corretto.

Sulla domanda oggetto del thread?

[billyballo2123]

La risposta era implicita nella correzione che ti ho fatto! Le due interpretazione sono equivalenti. Il problema è che ottenevi risultati diversi a causa degli errori che ti ho segnalato!

[comariob]

Ah, ecco!

Adesso ho rifatto i conti e mi trovo che effettivamente il vettore nullo è l'unica base possibile per l'intersezione dei due sottospazi.